Ge ett rimligt värde åt lni

God morgon!

Jag har stött på en uppgift som jag förstår tack vare den gamla Pluggakut forum, men inte när jag läser ledtrådarna i matteböken!

Så det kan vara antigen att den gamla forum och boken säger samma sak och att jag inser inte det, eller att det är två metoder! Isf vill jag gärna kunna båda!

Såhär är det:

Ge ett rimligt värde åt cos i och ln i. (vi struntar i frågor om sin i och $i^{i}$ , det är ju same same but different):

Jag förstår när man utgår från $\frac{e^{i v} + e^{- i v}}{2} = \cos v$ . Det är bara att ersätta vinkel v med i. Matteböken säger ''utgå från Eulers formeln". Menar den utgå från $r e^{i v}$ ? Isf hur får jag något rimligt från $r e^{i \cos i}$ ? ... jag inser att jag har säkert inte förstått hur man kombinerar Legos i Eulers formeln!

Samma sak för ln i!

Jag förstår när jag läser den gamla forum.

$i = (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}) = e^{i \frac{π}{2}}$ och $l n i = l n e^{i \frac{π}{2}} = {\ln e}^{i \frac{π}{2}} = i \frac{π}{2}$ .

Men matteböken säger "utgå från z=lni så är $e^{z} = i$ och $z = i \frac{π}{2}$ "... Så igen, istället för att falla på plats, polletter/Legos ramlar på golvet.

Kan någon hjälpa mig att gå metodisk igenom detta (från exponentiel form till kvadratiskform? eller hur man nu gör det!)

Ge talet $\ln i$ namnet z. I så fall gäller det att $e^z = e^{\ln i} = i$ .

Hur skriver man talet $i$ på Eulers sätt? Absolutbeloppet är $1$ och vinkeln är $\pi /2$ , så $i =e^ {i \pi /2}$ .

Alltså är $e^z = e^{\pi/2}$ så $z = \ln i = i \pi /2$ .

Det var klockren. Tack!

Klockren

Man kan också lägga märke till att du skulle kunna addera $2\pi i$ till det eftersom $e^{2\pi i} = 1$ . Därför får man faktiskt att värdet på $\ln(i) = i\pi/2 + 2\pi i n$ .

Hahaha, fin ren!

... Hmm... om 2pi.i är lika med 1, kan vi verkligen lägga till +1 till ekvationen utan att påverka den?

Det är ju $e^{2\pi i}$ som är ett, så vi har att

$e^{i\pi/2 + 2\pi i n} = e^{i\pi/2}e^{2\pi i n} = e^{i\pi/2}\cdot 1 = e^{i\pi/2} = i$

Jag ska säga "ja, såklart" för att ser ut stiligt och smart!

Men egentligen skulle jag inte ha tänkt på det själv!

Svara

Visa senaste svar