Ge mig en funktion med följande egenskaper

Alla funktioner som är både kontinuerliga och periodiska kan skrivas som en summa av sinus- och cosinusfunktioner (en fourierserie). Det du efterfrågar är alltså omöjligt.

emmynoether skrev:

Alla funktioner som är både kontinuerliga och periodiska kan skrivas som en summa av sinus- och cosinusfunktioner (en fourierserie).

Men är det säkert att det inte finns andra sätt att skriva funktionerna?

Nu förstår jag inte? Om du kan skriva en funktion i termer av cosinus och sinus så kommer alla andra ekvivalenta sätt  innehålla exakt samma egenskaper. Om du klär ut en katt till en hund så kommer det fortfarande vara en katt.

Måste den vara oändligt deriverbar?

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-(x-k)^2}$

tomast80 skrev:

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-(x-k)^2}$

Periodiserad gausskurva, snyggt. Samma exempel hänvisas till här: Non-trigonometric Continuous Periodic Functions

Det står även i samma exempel, " Not-explicitly-trigonometric. As others said, there is always a trigonometric series lurking in background.", vilket var det jag syftade på. Det är ett faktum att alla dessa funktioner kan skrivas som fourierserier och därmed är trigonometriska (om än implicit).

emmynoether skrev:

Det står även i samma exempel, " Not-explicitly-trigonometric. As others said, there is always a trigonometric series lurking in background.", vilket var det jag syftade på. Det är ett faktum att alla dessa funktioner kan skrivas som fourierserier och därmed är trigonometriska (om än implicit).

Ja, jag såg det också. Poängen är att de inte syns explicit i alla fall, vilket de inte gör i tomast fina exempel.

Jag borde ha lagt till det också att en tayloranpassning till trigfunktionerna inte kvalificerar (för att jag inte tycker att det är intressant), men det förstods ändå!

Ebola: det vet jag inte. Varför frågar du? 

Ett lite kul exempel här, bommar dock på några av kriterierna: http://www.eudoxus.me.uk/m208/periodicnontrigonometricfn.pdf

Jag blir lite nyfiken på varför trådskaparen frågar måste jag säga. Var det något speciellt du hade i åtanke?

Av ren nyfikenhet, godtar vi Taylorserien för $\sin(x)$?

$\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

Så vitt jag förstår uppfyller väl denna kriterierna.

En annan intressant periodisk funktion (som dock inte uppfyller kriterierna) är $f(x)=e^{ix}$.

Qetsiyah skrev:

Ebola: det vet jag inte. Varför frågar du? 

För att du kan konstruera en funktion som uppfyller dina krav där förstaderivatan existerar men inte nödvändigtvis andra-, tredje- osv. Detta genom att förlänga funktionen periodiskt. Mer intressant är så klart din slutsats som lyder "...då är det något speciellt med de trigonometriska funktionerna". Det som Fourier presenterade (efter arbete av giganterna Euler, Bernoulli och d'Alembert) är inte trivialt utan en ganska dramatisk upptäckt som fastställer att det helt klart är "något speciellt" med dem.

Emmy: det speciella jag hade i åtanke var att om svaret var nej så va de trigonometriska funktionerna speciella. Eller egentligen så tänkte jag bara det eller nåt

Alvin: ja, men jag skrev sen att jag inte godtog den för att den inte var intressant hehe

Ebola: åh? Vad heter Fouriers upptäckt (teorem?)?

Tomast: Är ditt exempel glatt? Hemsidan du länkade till, den funktionen är ju konstant?! Är det något med de kantiga ][ paranteserna?

Qetsiyah skrev:

Emmy: det speciella jag hade i åtanke var att om svaret var nej så va de trigonometriska funktionerna speciella. Eller egentligen så tänkte jag bara det eller nåt

Alvin: ja, men jag skrev sen att jag inte godtog den för att den inte var intressant hehe

Ebola: åh? Vad heter Fouriers upptäckt (teorem?)?

Tomast: Är ditt exempel glatt? Hemsidan du länkade till, den funktionen är ju konstant?! Är det något med de kantiga ][ paranteserna?

Nej, funktionen är ”kantig”. De kantiga parenteserna står för avrundning nedåt, alltså ”floor”.

Åh, jajaja nu fungerar det! Men vadå, vad är fel med funktionen? Vilka kriterier bommar den på?

Den är inte deriverbar i kanterna, derivatan är positiv när man närmar sig dem från vänster och negativ från höger, alltså inte deriverbar för alla $x$.

Sen bommar den eventuellt på styckvis definierad. Tack vare avrundningen kommer man runt det, men det blir ju i alla fall i praktiken olika räta linjer:

$y=k_ix+m_i$ i varje intervall: $x_i\le x\le x_{i+1}$

Ebola: åh? Vad heter Fouriers upptäckt (teorem?)?

Fouriertransformer

Ja, men jag menar om han la fram något teorem som sa att trigfunktionerna var de enda som var periodiska och glatta?

Fouriertransform är väl inte teorem eller?