6 svar
78 visningar
K.Ivanovitj 399
Postad: 6 feb 2018 13:59

generaliserad integral

Hej

jag behöver hjälp med att förstå hur man ska lösa följande uppgift:

Avgör om den generaliserade integralen

11x3+xdx 

är konvergent och beräkna i så fall dess värde.

Jag började med att sätta limR1R1x3+xdx

Sedan började jag att partialbråksuppdela 1x3+x=1xx2+1 

Enligt facit så satte dom sedan 1x-xx2+1 och integrerade 1R1x-xx2+1dx och fick lnx-12×lnx2+1R1 men i nästa steg ska man tydligen sätta lnxx2+1R1

Det är två saker jag har lite problem med. Hur får man fram 1x-xx2+1 och hur får man lnxx2+1 ur lnx-12×lnx2+1R1

Smaragdalena 57479 – Lärare
Postad: 6 feb 2018 14:24 Redigerad: 6 feb 2018 14:25

Att försöka integrera en funktion som är en produkt av olika faktorer är... besvärligt, för att använda ett milt ord, men att integrera en funktion som är en summa av olika termer är enkelt, det är bara att integrera varje term för sig. Så om man kan göra om produkten f(x)=1x3-x=1x(x2+1) f(x) = \frac{1}{x^3-x} = \frac{1}{x(x^2+1)} till summan f(x)=1x+1x2+1 vore mycket vunnet. Det är denna omskrivning som kallas partialbråksuppdelning, och det har du säkert haft en genomgång om.

Smaragdalena 57479 – Lärare
Postad: 6 feb 2018 14:30

ln x -12ln(x2+1) =ln x -lnx2+1=lnxx2+1 genom användande av logaritmlagarna.

K.Ivanovitj 399
Postad: 6 feb 2018 15:34

okej nu förstår jag, jag missade det. Jag fick sedan att lnRR2+1-ln12

Sista steget så sätter dom ln11+1R2+12×ln2 12×ln2 då R 

jag förstår inte varför dom sätter ln11+1R2+12×ln2

Smaragdalena 57479 – Lärare
Postad: 6 feb 2018 16:15

RR2+1=1RR1RR2+1 =11R2(R2+1) = 1R2+1R2 = 1R2R2+1R2 = 11+1R2

Albiki 5096
Postad: 6 feb 2018 18:45

Hej!

Vid partialbråksuppdelning skriver man

    1x(1+x2)=Ax+Bx+C1+x2 \frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}

där det gäller att bestämma konstanterna A A och B B och C C

Med hjälp av Handpåläggningsmetoden får man A=1 A = 1 och B=-1 B = -1 och C=0 C=0 som ger integralen

    1n1x-x1+x2dx=lnn-ln1-1nx1+x2dx . \int_{1}^{n} \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \,\text{d}x = \ln n - \ln 1 - \int_{1}^{n}\frac{x}{1+x^2}\,\text{d}x\ .

Eftersom derivatan d(1+x2)dx=2x \frac{\text{d}(1+x^2)}{\text{d}x} = 2x så kan man (formellt) skriva

    xdx=0.5d(1+x2) x \text{d}x = 0.5\text{d}(1+x^2)

vilket ger integralen

    Error converting from LaTeX to MathML

Sätter man in detta i den ursprungliga integralen får man följande.

    1n1x-x1+x2dx=lnn-ln1+n2+ln2=lnn1+n2+ln2 . \int_{1}^{n} \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} \,\text{d}x = \ln n - \ln \sqrt{1+n^2} + \ln \sqrt{2} = \ln \frac{n}{\sqrt{1+n^2}} + \ln \sqrt{2}\ .

Detta visar att den generaliserade integralen är konvergent och att dess värde är ln2 . \ln \sqrt{2}\ .

Albiki

K.Ivanovitj 399
Postad: 6 feb 2018 20:18

jag är med på det mesta men hur får vi rottecknet för den andra integralen? borde vi inte få lnn1+n2-ln12

Svara Avbryt
Close