Generaliserad integral

Hejsan!

Har nyss börjat med generaliserade integraler och har stött på problem hur man kan göra på denna:

Jag ska visa detta:   $\ln \left(2\right)\le {\int }_0^{\infty }\frac{1}{x+e^x}dx\le 1$

Har gjort såhär: 

$$\begin{gathered} Den är generliserad när funktionen går mot oändligheten så \\ \frac{1}{x+e^x}\approx \frac{1}{e^x} för stora x, {\int }_0^{\omega }\frac{1}{e^x}dx={\left[-\frac{1}{e^x}\right]}_0^{\omega }=1 \end{gathered}$$

Förstår ej hur ln(2) ska komma in här någonstans.