Generaliserad integral

Man kan exempelvis substituera $c = e^x$. Hur ändras gränsvärdet i detta fall? Man kan även skriva om uttrycket som $\displaystyle c\ln c = \frac{\ln c}{1/c}$. Då både täljaren och nämnaren $\to \infty$ kan man använda lhopital. 

Vi har inte använt l'hopital i vår kurs. Men om man substituerar c=e^x, hur blir det då? e^x kan man inte säga går mot 0. Men ska man beräkna inversen, e^x, och sen ta integralen/arean som "motsvarar" den för ln x? Men det känns inte så intuitivt.

Jag menar substitution i gränsvärdet. Att substituera direkt i integralen fungerar lika väl, men nu har du redan hittat en primitiv till funktionen.

Iden bakom substitutionen för $c=e^x$ är att vi då får bort logaritmen. Exponentialfunktioner är ofta lättare att arbeta med. När $c\to 0^+$ går $x\to -\infty$ (varför?) och då får vi att

$\displaystyle \lim_{c\to 0^+}c\ln c = \lim_{x\to -\infty}e^x \ln\left(e^x\right) = \lim_{x\to -\infty}xe^x$

Nej, det är inte så intuitivt, men eftersom ln och e är inversa så är integralen av ln från o till 1 lika med integralen av e från - oändligheten till 0, se figur

Tack så mycket!

Jag fick det till att:$\underset{x\to -R_{{}^{R\to \infty }}}{\lim }-R e^-R=-R/e^R \underset{R\to \infty }{\to }0$.?

Men med inversen så få man direkt att: -$-{\int }_{-\infty }^{0}e^x dx =- e^x{|}_R^0\underset{R\to \infty }{\to }-1$?

Att använda inversen är absolut lättare. Jag tänkte att det var bra att fortsätta med det du hade börjat med, eftersom det också leder fram till en lösning. 

Men kan man sätta -R på det sättet? För vanligtvis sätter man R = +- oändligheten, men bara med -R kan man skriva om det till 1/e^R.