Generaliserade integraler

Partialbråksuppdelning. 

Och det fick jag till ${\int }_0^X\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}dx=\left[\ln \left|x\right|-\ln \left|x+1\right|\right]$. Hur gör jag sen?

Du kommer inte kunna beräkna integarlen eftersom den är divergent. Ta bild på uppgiften, jag antar att den egentligen vill att du ska visa om integralen är divergent eller konvergent och isåfall beräkna den. 

Beräkna:

$\lim_{a\to 0^+}F(1)-F(a)$

Enligt uppgiftskaparna så ska jag beräkna integralen. Och enligt facit ska svaret bli ln2. Förstår inte alls. Har satt in X och 0 i den primitiva funktionen och får då ut lnx-ln(x+1).

Sätter jag in det här: $\underset{x\to \infty }{\lim }\ln x -\ln (x+1)=0$. Det blir alltså 0, och facit står det ln2. Har nog aldrig vart mer vilsen...

Om gränserna är 1 till infty är det ln(2), ja, men du har skrivit 0 till infty vilket som sagt inte konvergerar. 

Förlåt hörni, jag såg att jag hade fel integrationsgränser. Den lägre skulle var 1 och inte 0. Så${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2+x}dx={\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$.

Och detta ger ${\int }_1^X\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}dx=\left[\ln \left|x\right|-\ln \left|x+1\right|\right]=\ln \left|x\right|-(\ln \left|x+1\right|-\ln 1+1-\ln 1)=\ln \left|x\right|-\ln \left|1+x\right|+\ln 2$

$\underset{x\to \infty }{\lim }\ln \left|x\right|-\ln \left|x+1\right|+\ln 2=\ln 2$

Så blir det va?

ilovechocolate skrev:

Förlåt hörni, jag såg att jag hade fel integrationsgränser. Den lägre skulle var 1 och inte 0. Så${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2+x}dx={\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$.

Och detta ger ${\int }_1^X\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}dx=\left[\ln \left|x\right|-\ln \left|x+1\right|\right]=\ln \left|x\right|-(\ln \left|x+1\right|-\ln 1+1-\ln 1)=\ln \left|x\right|-\ln \left|1+x\right|+\ln 2$

$\underset{x\to \infty }{\lim }\ln \left|x\right|-\ln \left|x+1\right|+\ln 2=\ln 2$

Så blir det va?

Hej!

Du måste motivera varför $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\ln{\left(x\right)}-\ln{\left(x+1\right)}\right)=0$.

För övrigt tre kommentarer: Du använder $X$ som integrationsgräns, och då bör du fortsätta att använda $X$ och inte $x$. Du kan direkt släppa absolutbeloppen eftersom $x\in\left(1,+\infty\right)$ och då gäller att $\vert x\vert = x$. Till sist skriver du $\ln{1}+1=\ln{2}$ men det är självklart inte sant, du måste använda parenteser (dvs $\ln{\left(1+1\right)}=\ln{2}$).

Hoppsan, jag var visst för snabb där, så blev lite slarvfel.😅  Okej, vad bra. då vet jag att absolutbeloppen försvinner.