Generaliserade integraler

Är du säker på att partiell integration är klokt här?

Derivatan av exponenten, $-2x$, har du nästan (det saknas bara ett minustecken) i integranden. Vilken integreringsmetod brukar detta betyda att man ska använda?

Jag löste nyss sådana uppgifter så jag trodde att om man ska integrera två faktorer så ska måste man använda partiell integration? 

Hur löser jag den annars? 

Har du lärt dig om variabelsubstitutioner ännu? I sådana fall får man svaret ganska direkt genom att göra en substitution med $t=-x^2$.

Om inte kan man göra så här (vilket egentligen är samma sak):

Vi ser att integralen kan skrivas:

$\displaystyle -\int_0^{\infty}-2x \cdot e^{-x^2}\ dx$

Vi har en sammansatt funktion, $e^{-x^2}$, multiplicerat med dess inre derivata, $-2x$. Detta låter som kedjeregeln, eller hur?

Enligt kedjeregeln har vi:

$\dfrac{d}{dx}$$[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Detta kan vi ta baklänges och få att den primitiva funktionen för $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ måste vara $f(g(x))$. Vi kan använda detta i vårt fall om vi låter $f(x)=e^x$ och $g(x)=-x^2$:

$\displaystyle -\int_0^{\infty}-2x \cdot e^{-x^2}\ dx=-\int_0^{\infty}$ $g'(x)$ $\cdot e^{g(x)}\ dx=-[e^{g(x)}]_0^{\infty}=-[e^{-x^2}]_0^{\infty}$

Hej!

Det gäller att

    $\displaystyle\frac{d(e^{-x^2})}{dx} = -2xe^{-x^2}$

så integralen kan skrivas

    $\displaystyle\int_{0}^{\infty}2xe^{-x^2}\,dx = \int_{0}^{\infty}-1\,d(e^{-x^2}) = 0-(-e^{-0^2}) = 1.$