Generaliserade integraler; Tömma ut?

De verkar mena att man gör integrationsområdet större och större, och i en gränsövergång får med hela planet. 

"Tömma ut" är ingen intuitiv term, tycker jag. "En uttömmande förklaring" kan man säga, om den förklarar allt.

Man kan jämföra med generaliserade enkelintegraler:

${\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx$

Hur ska man definiera den integralen? Eller 

${\int }_0^1\frac{1}{x}dx$

En vanlig integral förutsätter ju att integranden är begränsad och att intervallet man integrerar över är ändligt och slutet. Så hur löser man det i fallet med enkelintegraler? Jo man definierar integralen som gränsvärdet av en serie integraler där varje integral i serien är begränsad och på ett kompakt intervall:

$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx =\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx \\ {\int }_0^1\frac{1}{x}dx=\underset{a\to 0}{\lim }{\int }_a^1\frac{1}{x}dx \end{gathered}$$

Man kan se det som att när a blir större och större, alternativt kommer allt närmre 0 i den andra integralen, så blir integralen definierad på ett större och större intervall som i slutändan "uttömmer" eller "täcker" den generaliserade integralens intervall. 

Man kan se det lite på samma sätt med den generaliserade multipelintegralen. Om vi exempelvis har integralen

${\iint }_{R^2}f(x,y) dxdy$

så har vi samma problem som i fallet med den första enkelintegralen: integrationsområdet är oändligt stort, och lösningen är alltså också den samma: vi bildar en serie av integraler på större och större områden som i gränsen inkluderar hela det obegränsade integrationsområdet. I exemplet från din bok "täcker" man eller "uttömmer" hela planet med större och större cirklar eller större och större kvadrater. Problemet är att man inte bara kan låta x eller y gå mot oändligheten nu, båda måste gå mot oändligheten samtidigt.

Om vi då tillexempel tänker oss en oändlig följd av områden $C_1, C_2,...$ där $C_k$ är en cirkel med mittpunkt i origo och radie $k$ så är följden en uttömmande svit, det vill säga: varje punkt i planet ligger inuti något $C_k$. Vi kan då definiera den generaliserade multipelintegralen

${\iint }_{R^2}f(x,y)dxdy$

som

$\underset{k\to \infty }{\lim }\iint {}_{C_k}f(x,y)dxdy$

Så att vi i praktiken kan beräkna den generaliserade integralen genom att först integrera över en cirkel med radie r och sedan låta r gå mot oändligheten.

Smutsmunnen skrev:

Man kan jämföra med generaliserade enkelintegraler:

${\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx$

Hur ska man definiera den integralen? Eller 

${\int }_0^1\frac{1}{x}dx$

En vanlig integral förutsätter ju att integranden är begränsad och att intervallet man integrerar över är ändligt och slutet. Så hur löser man det i fallet med enkelintegraler? Jo man definierar integralen som gränsvärdet av en serie integraler där varje integral i serien är begränsad och på ett kompakt intervall:

$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx =\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx \\ {\int }_0^1\frac{1}{x}dx=\underset{a\to 0}{\lim }{\int }_a^1\frac{1}{x}dx \end{gathered}$$

Man kan se det som att när a blir större och större, alternativt kommer allt närmre 0 i den andra integralen, så blir integralen definierad på ett större och större intervall som i slutändan "uttömmer" eller "täcker" den generaliserade integralens intervall. 

Man kan se det lite på samma sätt med den generaliserade multipelintegralen. Om vi exempelvis har integralen

${\iint }_{R^2}f(x,y) dxdy$

så har vi samma problem som i fallet med den första enkelintegralen: integrationsområdet är oändligt stort, och lösningen är alltså också den samma: vi bildar en serie av integraler på större och större områden som i gränsen inkluderar hela det obegränsade integrationsområdet. I exemplet från din bok "täcker" man eller "uttömmer" hela planet med större och större cirklar eller större och större kvadrater. Problemet är att man inte bara kan låta x eller y gå mot oändligheten nu, båda måste gå mot oändligheten samtidigt.

Om vi då tillexempel tänker oss en oändlig följd av områden $C_1, C_2,...$ där $C_k$ är en cirkel med mittpunkt i origo och radie $k$ så är följden en uttömmande svit, det vill säga: varje punkt i planet ligger inuti något $C_k$. Vi kan då definiera den generaliserade multipelintegralen

${\iint }_{R^2}f(x,y)dxdy$

som

$\underset{k\to \infty }{\lim }\iint {}_{C_k}f(x,y)dxdy$

Så att vi i praktiken kan beräkna den generaliserade integralen genom att först integrera över en cirkel med radie r och sedan låta r gå mot oändligheten.

Intressant.. Kallas detta (sats kanske?) för något speciellt?

Det är alltså inte en sats, det är definitionen av en generaliserad mutlipelintegral.