generell lösning differentialekvation

Nu gissar jag lite grann här, men jag antar att ansatsen till den generella lösningen är:

$y=ve^{-2x}$

Eftersom $v$ också beror av $x$ deriverar man med produktregeln och får:

$y'=v'e^{-2x}+v\cdot-2e^{-2x}=v'e^{-2x}-2ve^{-2x}$

För att få fram andraderivatan deriverar man sedan detta uttryck på samma sätt:

$y''=v''e^{-2x}+v'\cdot-2e^{-2x}-2v'e^{-2x}-2v\cdot-2e^{-2x}=v''e^{-2x}-4v'e^{-2x}+4ve^{-2x}$

Vi kan börja med att du ska få fram lösningen till en andragrads differentialekvation som kommer att ha två linjärt oberoende lösningar eftersom koefficienterna framför $y\text{'}, y$ är kontinuerliga. När man löser uppgifter av den typen du skrivit upp brukar man börja med att anta att lösningen är av formen 

$y = e^{rt}$                 (*)

När vi sedan deriverar får vi att

$e^{rt}(r^2+4r+4)=0\to r^2+4r+4=0$          

Om vi löser denna andragradsfunktion får vi att

 $$\begin{gathered} (r+2{)}^2=0 \\ {r}_{1,2}=-2 \end{gathered}$$

Om vi stoppar denna lösning i (*) får vi att $y_1=e^{-2x}$. Vi har alltså kommit fram till samma sak som uppgiften gav dig, en lösning är av den typen men för en andragrads differential brukar man få två lösningar om du exempelvis är van att se lösningar på formen 

$y = C_1{y}_1+C_2{y}_2$

Vi har endast fått fram en av dom (detta är fallet eftersom vi får ekvivalenta rötter). Vad man nu gör är att man antar att

$y=v\left(x\right)y_1=v\left(x\right)e^{-2x}$

Om du deriverar nu kommer du alltså behöva använda kedjeregeln, detta ger att

$$\begin{gathered} y = v\left(x\right)e^{-2x} \\ y\text{'} = v\text{'}\left(x\right)e^{-2x}-2v\left(x\right)e^{-2x} \\ y\text{'}\text{'} =v\text{'}\text{'}\left(x\right)e^{-2x}-2v\text{'}\left(x\right)e^{-2x}-2v\text{'}\left(x\right)e^{-2x}+4v\left(x\right)e^{-2x} \end{gathered}$$

Stoppar vi in detta i ekvationen som givits får vi att

 $$\begin{gathered} y =\hspace{0.17em}v\text{'}\text{'}\left(x\right)e^{-2x}-4v\text{'}\left(x\right)e^{-2x}+4v\left(x\right)e^{-2x}+4v\text{'}{\left(x\right)e}^{-2x}-8v\left(x\right)e^{-2x}+4v\left(x\right)e^{-2x}=0 \\ \to v\text{'}\text{'}\left(x\right)e^{-2x}=0 \to v\text{'}\text{'}\left(x\right) = 0 \end{gathered}$$

Det du behöver göra nu är att integrera $v\text{'}\text{'}\left(x\right)$ två gånger och du kommer få fram att $v\left(x\right) =t + c_2$

Alltså är den generella lösningen av formen

$y = v\left(x\right)e^{-2x}=t{e}^{-2x}+c_2{e}^{-2x}$

Kom bara ihåg att $C_1{y}_1$ är också en lösning. 

Svar: $y =C_{1}t{e}^{-2x}+C_2{e}^{-2x}$