Geometri 2

Kalla omkretsen för O. Du vet att omkretsen för en cirkel är $O=2\mathrm{\pi }·\mathrm{r}$, och för en kvadrat $O=4s$. Arean för en cirkel är $A_c=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2$ och för en kvadrat $A_k=s^2$. Omkretsarna är lika stora:

$$\begin{gathered} O_c=O_k \\ 2\mathrm{\pi }·\mathrm{r}=4·\mathrm{s} \\ \mathrm{s}=\frac{2\mathrm{\pi }·\mathrm{r}}{4} \end{gathered}$$

Detta uttryck för s kan du nu sätta in i areaformeln för kvadraten. Är arean större eller mindre än cirkelns area?

Jaha, så blir svaret för kvadratens area

$s^2\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}(\frac{\mathrm{\pi }\times \mathrm{d}}{4}{)}^2$

Men då är kvadratens area större än cirkeln, om det är så

Nja, nu har det smugit sig in något fel i högerledet. Arean blir:

$A_k=s^2={\left(\frac{\mathrm{\pi }·\mathrm{r}}{2}\right)}^2=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}·r^2$. Vad är störst, $\mathrm{\pi }$ eller $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}$?