Geometri

En pyramid är lika hög som den är bred. Inuti pyramiden finns en sfärisk gravkammare. Hur stor del av pyramidens volym kan gravkammaren uppta?

Antar att du menar en fyrsidig pyramid eller?

Kan det vara typ 4/5 med andra ord 80%

Jag vet inte svaret. Jag menar fyrsidig, ja. 

klurig uppgift...

Laguna skrev:

Jag vet inte svaret. Jag menar fyrsidig, ja. 

Fyrsidig som i tetraeder? Eller fyrsidig som i kvadratisk basyta? (Som de egyptiska pyramiderna ser ut)

Jag måste säga att detta problemet är lite väl avancerat, även för årskurs nio.

AlvinB skrev:

Laguna skrev:

Jag vet inte svaret. Jag menar fyrsidig, ja. 

Fyrsidig som i tetraeder? Eller fyrsidig som i kvadratisk basyta? (Som de egyptiska pyramiderna ser ut)

Jag måste säga att detta problemet är lite väl avancerat, även för årskurs nio.

Som en egyptisk pyramid, ja. Mm, kanske det, jag bara drog till med något. Men Sr Soriano klarar det säkert.

Jag fick fram svaret 80%

Vi säger att pyramidens höjd är 15 då blir volymen 15x15x15/3=1125

Klotet inuti kan max ha volymen 6x6x6x3,14x4/3=904,32 

904,32/1125=0.8=80%

Hur kom du fram till att klotet kan ha just den radien?

För att om radien är 7 så blir klotets volym större än pyramiden

Har du koll på att inte klotet sticker ut utanför pyramiden? Har du ritat?

Jag har ritat.

Klotet passar bra med diametern 12 m

Sr Soriano skrev:

Jag har ritat.

Klotet passar bra med diametern 12 m

Lägg in din bild och visa!

När jag ritar, får jag att 6 meter upp, där klotet är som bredast, är pyramidens tvärsnitt en kvadrat med sidan 9 m - alltså får inte ett klot med diametern 12 m plats.

:)

Det räcker inte att skriva att diametern är 6 m, man måste rita skalenligt. Dessutom verkar du inte ha förstått vad skala innebär. Rita en likbent triangel som har basen 15 cm och höjden 15 cm. Försök få plats med en cirkel med radien 6 cm inuti, utan att den sträcker sig utanför triangeln.

Det bästa man kan åstadkomma är ju att klotet tangerar pyramidens alla fem sidor enligt följande:

Detta sker då klotets radie är lika med:

$r=\dfrac{b}{\sqrt{5}+1}$

där $b$ är bredden på pyramiden. Detta ger i sin tur att förhållandet mellan klotets volym och pyramidens volym blir:

$\dfrac{4\pi}{(\sqrt{5}+1)^3}\approx 0,371=37,1$

Men jag ser inget sätt att komma fram till detta utan saker som man lär sig först i Matte 2-3 på gymnasiet (koordinatgeometri, andragradsekvationer, m.m.).

Skulle du kunna berätta mer om hur du kom fram till den formeln?

Iridiumjon skrev:

Skulle du kunna berätta mer om hur du kom fram till den formeln?

Om detta skall vara Åk-9-vänligt behöver vi nog leta efter ett enklare sätt att lösa det på, men här följer min metod:

Om vi lägger in ett tvärsnitt av pyramiden i ett koordinatsystem får vi:

Där $b$ är längden på basen av pyramiden och $r$ är radien på den sfäriska gravkammaren. Vi behöver ta reda på ett uttryck för $r$ så att cirkeln tangerar punkten $(0,0)$ och den högra linjen (eftersom figuren är symmetrisk innebär detta att cirkeln även tangerar den vänstra linjen samt de andra två sidorna i pyramiden).

Cirkelns ekvation blir:

$x^2+(y-r)^2=r^2$

Vi noterar att ekvationen uppfylls för $x=0$ och $y=0$ oavsett $r$-värde. Den högra linjen har ekvationen $y=-2x+b$. Insättning ger:

$x^2+(-2x+b-r)^2=r^2$

$x^2+(-2x+b-r)(-2x+b-r)=r^2$

$x^2+4x^2-2bx+2rx-2bx+b^2-br+2rx-bk+r^2=r^2$

$5x^2-4(b-r)x+b^2-2br=0$

$x^2-\dfrac{4(b-r)}{5}x+\dfrac{b^2-2br}{5}=0$

$x=\dfrac{2(b-r)}{5}\pm\sqrt{\dfrac{2^2(b-r)^2}{5^2}+\dfrac{2br-b^2}{5}}=\dfrac{2(b-r)}{5}\pm\sqrt{\dfrac{4(b^2-2br+r^2)+10br-5b^2}{25}}$

$x=\dfrac{2(b-r)}{5}\pm\sqrt{\dfrac{4r^2+2br-b^2}{25}}$

För att cirkeln skall tangera linjen kan denna ekvation endast ha en lösning. Då måste uttrycket under roten vara lika med noll:

$\dfrac{4r^2+2br-b^2}{25}=0$

$4r^2+2br-b^2=0$

$r^2+\dfrac{br}{2}-\dfrac{b^2}{4}=0$

$r=-\dfrac{b}{4}\pm\sqrt{\dfrac{b^2}{16}+\dfrac{b^2}{4}}$

Den enda giltiga lösningen är då $r>0$. Då får vi:

$r=-\dfrac{b}{4}+\sqrt{\dfrac{5b^2}{16}}=\dfrac{b}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)$

Förlänger vi sedan med konjugatet $\sqrt{5}+1$ får vi:

$r=\dfrac{b}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)=\dfrac{b(\sqrt{5}-1)}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{b(5-1)}{4(\sqrt{5}+1)}=\dfrac{4b}{4(\sqrt{5}+1)}=\dfrac{b}{\sqrt{5}+1}$

vilket är vad vi ville visa. Sedan är det bara att stoppa in detta i volymformeln för ett klot så får vi:

$V_{\text{klot}}=\dfrac{4\pi r^3}{3}=\dfrac{4\pi b^3}{3(\sqrt{5}+1)^3}$

Pyramidens volym blir:

$V_{\text{pyramid}}=\dfrac{b^3}{3}$

Således får vi volymförhållandet:

$\dfrac{V_{\text{klot}}}{V_{\text{pyramid}}}=\dfrac{\frac{4\pi b^3}{3(\sqrt{5}+1)^3}}{\frac{b^3}{3}}=\dfrac{4\pi}{(\sqrt{5}+1)^3}$

Den går att lösa med likformighet.

Om vi tar AlvinBs föredömliga bild men ritar in en radie från mittpunkten på cirkeln till tangeringspunkten av cirkeln och sidan på pyramiden får vi en rätvinklig triangel med korta kateten r och hypotenusan b-r (sträckan mellan punkterna (0,k) och (0,b)).

Vi har också den rätvinkliga triangeln som ges av halva pyramiden. där är den korta kateten b/2 och hypotenusan blir enligt Pythagoras sats $\sqrt{b^2+(\frac{b}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{4b^2}{4}+\frac{b^2}{4}}=\sqrt{\frac{5b^2}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}b$.

Vi får alltså att $\frac{r}{{\displaystyle \frac{b}{2}}}=\frac{b-r}{{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}b}}$ vilket går att lösa ut till $b=r(1+\sqrt{5})$ precis som AlvinB kom fram till. Förhållandet blir då som kommits fram till tidigare $\frac{4\mathrm{\pi }}{(1+\sqrt{5}{)}^3}$