Geometri i R3: visa att matrisrepresentation av projektion på plan är lika med AAT

Inspirerad av min lösning i min förra tråd. Vi utför tre transformationer:

1. Låt oss först byta bas till {v1, v2, v1 x v2}.
2. Sedan tar vi bort den tredje koordinaten för att vi inte bryr oss om dess utsträckning i v1 x v2 riktning.
3. Sedan utför vi en linjär transformation till underrumet span{v1, v2} men uttryckt i standardbasen igen.

Tillsammans blir det: 

$$\begin{gathered} L\left(x_B\right)=\left[\begin{array}{cc}|& |\\ v1& v2\\ |& |\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}|& |& |\\ v1& v2& v1 \times v2\\ |& |& |\end{array}\right]}^{-1}{x}_B \\ =\left[\begin{array}{cc}|& |\\ v1& v2\\ |& |\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-& v1& -\\ -& v2& -\\ -& v1 \times v2& -\end{array}\right]x_B \\ =\left[\begin{array}{cc}|& |\\ v1& v2\\ |& |\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-& v1& -\\ -& v2& -\end{array}\right]x_B \end{gathered}$$

(S betecknar standardbas, B betecknar den andra basen, x godtycklig vektor i R3).

Notera att eftersom den första matrisen (från höger) har ortonormala kolonner så är dess invers dess transponat. Om vi multiplicerar de två första matriserna får vi AAT som begärt i uppgiften.