Geometri R3: projektion av vektor på ett plan med hjälp av matris

jämför ditt sätt med standardmetoden. blir kanske klarare då.

Vad menar du med att $x_{3} = 0$? Du får:

$x=\begin{bmatrix}\dfrac{-2}{3}\\ -1\\ \dfrac{1}{6}\end{bmatrix}$

Fråga dig själv vad $x$ beskriver. Du formulerar ett koordinatsystem som byggs upp av vektorerna $v_{1}$, $v_{2}$ och $v_{1} \times v_{2}$ och söker den linjärkombination som beskriver vektorn $w$. Detta är synonymt med att $x_{1}v_{1}$ är projektionen av $w$ på $v_{1}$. Jämför detta med hur du skulle göra om du hade vektorn (1,1,1) och skulle projicera den på xy-planet. Då skulle du naturligtvis få vektorn (1,1,0).

Jag vet vad x beskriver, det var så jag kom på idén, och det är därför x3=0 är konstigt för det betyder att w ligger i planet. Men se: 

Vilket jag även fick för hand. Är min kryssprodukt fel?

Edit: herregud det var kryssprodukten

jag hade ställt upp det så här iaf

$$\begin{gathered} x_1{v}_1+x_2{v}_2+x_{3}n=(1,3,-3) \\ \left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 4\\ 1& -3& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -3\end{array}\right) \\ (x1,x2,x3)=(-\frac{2}{3},-1,\frac{1}{3}) \\ w\text{'}=-\frac{2}{3}{v}_1-v_2=\frac{1}{3}(-1,7,-10) \end{gathered}$$