Geometrisk summa och annuitet

Jag ska använda följande beteckning (i stort sett samma som i ursprungsinlägget):

• $P = 1\,200\,000\ \text{kr}$ lånebeloppet
• $S_n$ är återstående skuld efter $n$ månader,
• $r = 0,0039583$ är månadsräntan
• $A$ är beloppet man betalar månadsvis (det är alltså $A$ som sökes)

I början är man skyldig 1,2 Mkr, så $S_0 = P$ och man vill att man inte är skyldig någonting efter 300 månader, d.v.s. $S_{300} = 0\ \text{kr}$.

För att inte drunkna i jobbiga siffror, så beskriver jag resonemanget/härledning av formeln för $A$ med bokstäver istället.

När en månad gått, så har skulden växt med förändringsfaktorn $(1+r)$ p.g.a. räntan och man har betalat $A$ kr. Detta kan uttryckas med den rekursiva formeln $S_{n+1} = S_n \cdot (1+r) - A$.

Om man skriver ut några $S_n$ för små värden på $n$, så får man:

• $S_0 = P$
• $S_1 = S_0\cdot(1+r) - A = P\cdot(1+r) - A$
• $S_2 = S_1\cdot(1+r) - A = P\cdot(1+r)^2 - A(1+r) - A$
• $S_3 = S_2\cdot(1+r) - A = P\cdot(1+r)^3 - A(1+r)^2 - A(1+r) - A$
• $S_4 = S_3\cdot(1+r) - A = P\cdot(1+r)^4 - A(1+r)^3 - A(1+r)^2- A(1+r)-A$
     $= P\cdot\left(1+r\right)^4 - A ( \underbrace{(1+r)^3 + (1+r)^2 + (1+r) + 1}_{!!!} )$

Notera nu att $(1+r)^3 + (1+r)^2 + (1+r) + 1$ är en geometrisk summa med kvoten $(1+r)$, så

$\left(1+r\right)^3 + \left(1+r\right)^2 + \left(1+r\right) + 1 = \dfrac{(1+r)^4-1}{(1+r)-1} = \dfrac{(1+r)^4-1}{r}$.

Med andra ord kan $S_4$ skrivas om enligt formeln för geometrisk summa:

• $S_4 = P\cdot\left(1+r\right)^4 - A\cdot \dfrac{(1+r)^4 - 1}{r}$

och man kan fortsätta vidare med $S_5$, $S_6$, ..., för att ta reda på att

• $S_n = P\cdot\left(1+r\right)^n - A\cdot \dfrac{(1+r)^n - 1}{r}$

Vill man att $S_{300}=0$, så måste $P\cdot\left(1+r\right)^{300} - A\cdot \dfrac{(1+r)^{300} - 1}{r} = 0$. När man löst ut $A$ ur denna ekvation, så får man

$A = P\cdot r \cdot \dfrac{(1+r)^{300}}{(1+r)^{300} - 1}$

Bråket kan förkortas med $(1+r)^{300}$, vilket ger samma formel som chatGPT gett:

$A = P\cdot r \cdot \dfrac{(1+r)^{300}}{(1+r)^{300} - 1} \cdot \dfrac{(1+r)^{-300}}{(1+r)^{-300}} = P\cdot r \cdot \dfrac{1}{1-(1+r)^{-300}}$

Tack så mycket!

Snygg lösning (med slutvärden)!

Ett annat sätt att resonera (med nuvärden) finner du här
https://www.pluggakuten.se/trad/lan-amortering-annuitet/

Båda resonemangen utgår från den ekonomiska bakgrunden till resp. problem,
och leder därför till samma resultat vad gäller annuitetens storlek i resp. problem.