Geometrisk summa tillämpningar

Visst kan man uttrycka talföljden rekursivt. Själva rekursivitet är bara en beskrivning av talföljden. Att man definierar talföljden rekursivt utgör inget hinder för att talen ska vara geometriska summor. Det beror nämligen på den rekursiva formeln om elementen i talföljden är utformade som geometriska summor, eller inte.

Rekursiv beskrivning:

$f_{n+1} = 0.98\,f_n + 100$ då $n \ge 1$
$f_1 = 100$ (begynnelsevillkoret)

Explicit beskrivning:

Ställ upp värdena som du gjort, men multiplicera 0,98 in i parentesen

fredag 1: 100 kr

fredag 2: (100·0,98) + 100

fredag 3: ((100·0,98) + 100) · 0,98 + 100 = 100 · 0,98² + 100 · 0,98¹ + 100
Detta är ju en geometrisk summa som består av tre termer, där första termen är 100 och kvoten är 0,98

fredag 4: (100 · 0,98² + 100 · 0,98¹ + 100) · 0,98 + 100 = 100 · 0,98³ + 100 · 0,98² + 100 · 0,98¹ + 100
Detta är ju en geometrisk summa som består av fyra termer, där första termen är 100 och kvoten är 0,98

fredag 5: (100 · 0,98³ + 100 · 0,98² + 100 · 0,98¹ + 100) · 0,98 + 100 = 100 · 0,98⁴ + 100 · 0,98³ + 100 · 0,98² + 100 · 0,98¹ + 100
Detta är ju en geometrisk summa som består av fem termer, där första termen är 100 och kvoten är 0,98

...

fredag n: 100 · 0,98^n-1 + 100 · 0,98^n-2 + ... + 100 · 0,98² + 100 · 0,98¹ + 100
Detta är ju en geometrisk summa som består av n termer, där första termen är 100 och kvoten är 0,98

För geometriska summor har man en formel, så

fredag n: $f_n = 100 \cdot \dfrac{1 - 0{,}98^n}{1-0{,}98} = 5000 \cdot {(1 - 0{,}98^n)}$

Nu kom jag på att det kanske uppstår förvirring av två olika begrepp:

Geometrisk talföljd:  $a_n = 100 \cdot 0,98^{n-1}$ (exempelvis)

Geometrisk summa: $b_n = 100 + 100\cdot0,98 + 100\cdot0,98^2 + \cdots + 100\cdot0,98^{n-1} = 100 \cdot \dfrac{1 - 0{,}98^n}{1-0{,}98}$,
d.v.s. $b_n= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$, där a:na kommer från en geometrisk talföljd