7 svar
84 visningar
Arup 813
Postad: 22 maj 14:55

Geometriskt medelvärde

Visa att det aritmetiska medelvärdet av två naturliga tal, a och b, är större än eller lika med talens geometriska medelvärde, dvs. att

a+b2ab

Arup 813
Postad: 22 maj 14:59

jag tänker sä här:

(a+b2)2(ab)2 a2+2ab+b24aba2+2ab+b24aba2+b22ab

Tomten 1746
Postad: 22 maj 17:26

Om du fortsätter med att flytta 2ab till VL får du a2+b2-2ab=(a-b)2 och en jämn kvadrat kan aldrig vara negativ. Så långt allt väl. Men vi har ju kvadrerat och då gäller inte ekvivalenspilen när vi går tillbaka till a+b>=sqr(2ab). Precis som vid rotekvationer måste vi kolla resultatet. a och b kan nämligen inte vara vilka tal som helst. T ex kan de inte ha olika tecken - varför?

Vad händer när både a och b är icke-negativa?

Vad händer när både a och b är negativa?

Arup 813
Postad: 22 maj 17:28

kan man gör så här:

a2+b2a2abaa+b2a2ba

Tomten 1746
Postad: 22 maj 18:29

Om a inte är 0 så Ja. Men vad gör du sedan? Hur visar du att den senare olikheten är sann? 

Tomten 1746
Postad: 22 maj 19:15

Jag ser nu i problemtexten att a och b är naturliga tal. Därmed bortfaller en hel del svårigheter jag tagit upp.

Tomten 1746
Postad: 24 maj 10:06

Låt A=(a+b)/2 och B= sqr(ab). Du har kommit till A>=B <==> A2>=B2 . Men ekvivalensen gäller inte om a och b får vara negativa tal. T ex är -2>-3 men (-2)2=4 och (-3)2=9. Därför är det som angavs i problemtexten att a och b är Naturliga Tal avgörande för hela beviset.

Arup 813
Postad: 24 jun 16:26

De här är väl även AM-GM olikheten som förekommer mycket på Ma Tävlingar ?

Svara Avbryt
Close