Gör boken eller jag fel? Irriterande facit (Tillväxt med begränsningar)

När man jämför de två modellerna ser man ju att de inte är omskrivningar av varandra? För de ger olika svar för tillväxthastigheten när 1000 personer är sjuka. 

Och jag fattar inte alls detta svar från tidigare inlägg. Laguna skrev ju k/m men under det står det plötsligt k * m och något annat?

Studenten06 skrev:

Och jag fattar inte alls detta svar från tidigare inlägg. Laguna skrev ju k/m men under det står det plötsligt k * m och något annat?

Tanken med Langunas svar är att egentligen är modellerna exakt samma. 

Om vi har $y' = ky\left(1- \dfrac y M\right)$

Då kan vi multiplicera VL med $\frac M M$ såhär:

$y' = ky \dfrac M M\left(1- \dfrac y M\right)$

Sedan kan vi flytta det över M:et i parentesen:

$y' = ky \dfrac 1 M\left(M- \dfrac {yM} M\right) = \dfrac{k}M t\left(M-y\right)$

Om vi nu döper $\frac{k}{M}$ till någon ny variabel, säg $c$ har vi helt plötsligt diffekvationen

$y' = cy(M-y)$

Alltså är det egentligen samma ekvation. Den enda skillnaden är att konstanten längt fram är annorlunda. Jag håller med dig att det är konstigt att facit använder ett annat skrivsätt än det dem introducerat. 

AlexMu skrev:

Studenten06 skrev:

Och jag fattar inte alls detta svar från tidigare inlägg. Laguna skrev ju k/m men under det står det plötsligt k * m och något annat?

Tanken med languanas svar är att egentligen är modellerna exakt samma. 

Om vi har $y' = ky\left(1- \dfrac y M\right)$

Då kan vi multiplicera VL med $\frac M M$ såhär:

$y' = ky \dfrac M M\left(1- \dfrac y M\right)$

Sedan kan vi flytta det över M:et i parentesen:

$y' = ky \dfrac 1 M\left(M- \dfrac {yM} M\right) = \dfrac{k}M t\left(M-y\right)$

Om vi nu döper $\frac{k}{M}$ till någon ny variabel, säg c har vi helt plötsligt diffekvationen

$y' = cy(M-y)$

Alltså är det egentligen samma ekvation. Den enda skillnaden är att konstanten längt fram är annorlunda. Jag håller med dig att det är konstigt att facit använder ett annat skrivsätt än det dem introducerat. 

Varför ger de olika svar då på tillväxthastigheten vid ett givet y värde?

Det borde dem inte göra. Kan du visa?

Studenten06 skrev:

Kom ihåg att det inte är samma konstant längt fram. Skillnaden mellan skrivsätten om man har faktoriserat ut ut $\frac 1M$ från parenteserna eller inte

$\displaystyle \left(1 - \frac yM\right) = \frac 1M\left(M-y\right)$

Om man utvidgar parenteserna i båda skrivsätt får man samma sak:

$y' = ay(M-y) = aMy - ay^2$
$\displaystyle y' = by\left(1- \frac yM\right) = by - \frac{by^2}M$

Själva diffen är samma (y' = konstant * y + konstant2 * y^2), men koefficienten $a$ och $b$ är inte det

AlexMu skrev:

Studenten06 skrev:

Kom ihåg att det inte är samma konstant längt fram. Skillnaden mellan skrivsätten om man har faktoriserat ut ut $\frac 1M$ från parenteserna eller inte

$\displaystyle \left(1 - \frac yM\right) = \frac 1M\left(M-y\right)$

Va? Hur är det inte samma konstant längst fram?  Det står precis 0,0004y i facit? Men iallafall när jag sätter y värdena på de två olika modellerna får jag olika svar, menar du att det var fel beräknat?

Vi har diffen 

$y' = 0.0004y(600-y)$

Om vi tar och multiplicerar HL med $\frac{600}{600}$ får vi detta:

$\displaystyle y' = 0.0004y \frac{600}{600}(600-y)$

Vi flyttar in $\frac{1}{600}$ innanför parentesen:

$\displaystyle y' = 0.0004y \cdot 600\cdot \left(1-\frac{y}{600}\right)$

Förenkling ger då $\displaystyle y' = 0.24y\left(1- \frac{y}{600}\right)$

Nu är diffen skriven på sättet som boken introducerar, men konstanten längt fram är annorlunda. Dessa diffar ger exakt samma lösning. 

Den här "proportionalitetskonstanten" är annorlunda beroende på vilket skrivsätt man använder. Personen som gjorde denna uppgift verkade bestämma sig att använda det andra skrivsättet, vilket bara krånglar till allt.

Dumt misstag av bokförfattarna att använda ett annat skrivsätt än de introducerar i boken..

AlexMu skrev:

Vi har diffen 

$y' = 0.0004y(600-y)$

Om vi tar och multiplicerar HL med $\frac{600}{600}$ får vi detta:

$\displaystyle y' = 0.0004y \frac{600}{600}(600-y)$

Vi flyttar in $\frac{1}{600}$ innanför parentesen:

$\displaystyle y' = 0.0004y \cdot 600\cdot \left(1-\frac{y}{600}\right)$

Förenkling ger då $\displaystyle y' = 0.24y\left(1- \frac{y}{600}\right)$

Nu är diffen skriven på sättet som boken introducerar, men konstanten längt fram är annorlunda. Dessa diffar ger exakt samma lösning. 

Den här "proportionalitetskonstanten" är annorlunda beroende på vilket skrivsätt man använder. Personen som gjorde denna uppgift verkade bestämma sig att använda det andra skrivsättet, vilket bara krånglar till allt.

Dumt misstag av bokförfattarna att använda ett annat skrivsätt än de introducerar i boken..

Jag fattar delvis. Tack ändå. Jag tänker bara följa den modell boken gav från början.

Kan bara tillägga att den här konkreta uppgiften har uppdaterats i den aktuella bokversionen "Matematik 5000+ kurs 5" och svaret i facit är numera angivet på formen $\displaystyle y^\prime = k\,y\,(1-\frac{y}{M})$.