Gränsvärde (L'Hôpitals regel)

$\lim_{x \to 0}\frac{2 \arctan x}{(1+x^2) 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x+x^3}$ är av typen $0/0$, så du kan tillämpa L'Hopital igen.

Då får du kvoten $\frac{1}{(1+x^2)(1+3x^2)}$ som går mot $\frac{1}{(1+0)(1+0)}$.

pi-streck=en-halv skrev :

$\lim_{x \to 0}\frac{2 \arctan x}{(1+x^2) 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x+x^3}$ är av typen $0/0$, så du kan tillämpa L'Hopital igen.

Då får du kvoten $\frac{1}{(1+x^2)(1+3x^2)}$ som går mot $\frac{1}{(1+0)(1+0)}$.

Jaha det visste jag inte. :)

Ett annat sätt att lösa uppgiften är med hjälp av Maclaurinutvecklingen.

$\arctan x = x + \mathcal{O} (x^3)$

$\lim_{x \to 0} \frac{(\arctan x)^2}{x^2} = \lim_{x \to 0 } \frac{(x+ \mathcal{O} (x^3))^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \mathcal{O}(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 + \mathcal{O} (x^2) = 1.$