gradf ortogonal nivåyta, normalvektor

Hej, jag har lite svårt att förstå sambandet mellan gradienten till f och normalvektorn till exempelvis ett tangentplan. Jag kom över ett exempel i vår bok och skriver av det här så blir det enklare att visa var det kör ihop sig.

Exemplet lyder "Bestäm tangentplanet till sfären $x^2+y^2+z^2=9$ i punkten $(2,1,2)$."

Vi ser sfären som en nivåyta till funktionen $f(x,y,z)$ och då gäller det att $gradf=(2x, 2y, 2z)$,och då blir $f(2,1,2)=(4,2,4)$.

Detta innebär att vektorn (4,2,4) är en normalvektor till ytan i punkten (2,1,2). Det är detta som jag inte riktigt förstår. Gradf blir ju ortogonal mot nivåytan, men hur leder detta till att gradf blir parallell med tangentplanets normalvektor? Jag tänker att gradf visar riktningen i xy-planet, men normalvektorn är ju i $R^3$. Jag tror att jag har svårt att förstå hur projiceringen på xy-planet (alltså nivåytan) gör så att vi får en normalvektor, den är ju inte tvådimensionell som planet vi befinner oss i. Tack på förhand.