Gradient och kurvor

Det är ungefär som uppgifter i gymnasiet typ "hitta tangenterna till y = x² som också går genom (1, -1)". Man behöver derivatan.

Jag löser ut gradienten som blir 

$\nabla f(2x+y,2y+x)$

och sedan tar jag

$(2x+y,2y+x) ·\left(\right(x-y)-(0,2\left)\right)=0$

men detta verkar bli fel och jag är inte helt med på det

Du menar kanske (x, y), inte (x-y)?

Om du kombinerar det du gör med kravet att (x, y) ska ligga på ellipsen så borde du få tangeringspunkten, men det är inte samma sak som ekvationen för tangenten.

Hoppas min metod hjälper dig.

$$\begin{gathered} Om vi säger att punkten är A(0,2) och \tan geringspunkten är T(a,b) då gäller att: \\ Tangenten AT har lutningen k=\frac{b-2}{a-0}=\frac{b-2}{a} \\ \AA andra sidan har \tan genten lutningen k=y\text{'}(a,b) \\ Vi implicit deriverar ellipsens ekvation \\ 2x+y+y\text{'}x+2yy\text{'}=0 \iff y\text{'}(2y+x)=-2x-y \Rightarrow y\text{'}=\frac{-2x-y}{2y+x} \Rightarrow k=y\text{'}(a,b)=\frac{-2a-b}{2b+a} \\ Detta ger att \frac{b-2}{a}=\frac{-2a-b}{2b+a} och när man förenklar detta så får man 2b^2+2a^2+2ab-4b-2a=0\iff b^2+a^2+ab-2b-a=0 \\ Men T(a,b) ligger på ellipsen \Rightarrow b^2+a^2+ab=1 (*) \\ \Rightarrow \\ 1-2b-a = 0 \Rightarrow a=1-2b Vi byter detta i (*) så får vi b^2+{(1-2b)}^2+(1-2b)b=1 om vi förenklar VL så får vi (b=0 eller b=1) \\ Så det är två \tan geringspunkter (1,0) och (-1,1) \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

Här kommer en bild på det:

Yes löste den nu tack så mycket!