graf

Stoppa in x-värdet i funktionen och beräkna y-värdet.

JnGn skrev :

Sedan när man ska rita grafen så förstår jag inte riktigt hur man får till linjen inom intervallet

Vilken linje menar du?

Det finns tre linjer (som är asymptoter).

Hej!

Konjugatregeln låter dig skriva funktionen som

    $f(x) = \frac{x^3}{(x-2)(x+2)}$

vilket visar att du ska studera funktionen på de tre intervallen

    $(-\infty,-2)$, $(-2,2)$ och $(2,\infty)\ .$

Kvotregeln och Kedjeregeln ger att funktionens derivata är lika med funktionen

    $f'(x) = \frac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}\ .$

Du ser att funktionen har tre stationära punkter där

    $x=0$ och $x = \sqrt{12}=2\sqrt{3}$ och $x = -2\sqrt{3}\ .$

Eftersom $\sqrt{3} > 1$ så ligger den stationära punkten $2\sqrt{3}$ i intervallet $(2,\infty)$ och punkten $-2\sqrt{3}$ ligger i intervallet $(-\infty,-2)\ .$ Den tredje stationära punkten ligger i intervallet $(-2,2)\ .$

Intervallet $(-\infty,-2)\ :$

• På intervallet $(-\infty,-2\sqrt{3})$ är derivatan strikt positivt, vilket betyder att funktionen $f$ är strängt växande på detta intervall.
• På intervallet $(-2\sqrt{3},-2)$ är derivatan strikt negativ, vilket betyder att funktionen $f$ är strängt avtagande på detta intervall.
• Funktionen $f$ har alltså ett lokalt maximum när $x=-2\sqrt{3}$ och $f(-2\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}\ .$

Intervallet $(-2,2)$:

• På intervallet $(-2,0)$ är derivatan strikt negativ, vilket betyder att funktionen $f$ är strängt avtagande på intervallet $(-2,0)\ .$
• På intervallet $(0,2)$ är derivatan strikt negativ, vilket betyder att funktionen $f$ är strängt avtagande på intervallet $(0,2)\ .$
• Funktionen $f$ har alltså en terrasspunkt när $x=0$ och $f(0) = 0\ .$

Intervallet $(2,\infty):$

• På intervallet $(2,2\sqrt{3})$ är derivatan strikt negativ, vilket betyder att funktionen $f$ är strängt avtagande på intervallet $(2,2\sqrt{3})\ .$
• På intervallet $(2\sqrt{3},\infty)$ är derivatan strikt positiv, vilket betyder att funktionen $f$ är strängt växande på intervallet $(2\sqrt{3},\infty)\ .$
• Funktionen $f$ har alltså ett lokalt minimum när $x=2\sqrt{3}$ och $f(2\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}\ .$

Singulära punkter.

• Om $x < -2$ så är gränsvärdet $\lim_{x \to -2} f(x) = -\infty$ och om $x > -2$ så är gränsvärdet $\lim_{x\to -2} f(x) = \infty.$ Detta visar att funktionen $f$ har en diskontinuitet av andra slaget när $x = -2.$
• Om $x<2$ så är gränsvärdet $\lim_{x\to 2}f(x) = -\infty$ och om $x>2$ så är gränsvärdet $\lim_{x\to 2}f(x) = \infty$, vilket visar att funktionen $f$ har en diskontinuitet av andra slaget när $x=2\ .$

Asymptoter:

• Om $x>2$ är ett stort tal så är kvoten $\frac{x^3}{x^2-4} \approx x$ vilket visar att funktionen $y(x) = x$ är en sned asymptot på intervallet $(2,\infty)\ .$
• Om $x<-2$ är ett stort negativt tal så är kvoten $f(x) \approx x$ vilket visar att funktionen $z(x) = x$ är en sned asymptot på intervallet $(-\infty,-2)\ .$

Nu har du tillräcklig information för att kunna göra en bra skiss av grafen till funktionen $f\ .$

Albiki

Nu kanske jag små petar lite, men ändå, funktionen f är helt och hållet kontinuerlig och det finns inga punkter där den är diskontinuerlig. Den är inte definierad i $x = \pm 2$ men inte diskontinuerlig där. En funktion kan endast vara diskontinuerlig där den är definierad.