18 svar
137 visningar
anonymousnina 237
Postad: 29 jul 2019

Grafer, beräkna area, derivata

Graferna till f(x)=e^x och g(x)=e^-x skär varandra i en punkt A. Tangenten till respektive kurva i denna punkt skär x-axeln i punkterna B och C. Beräkna arean av triangeln ABC. 

Kan någon förklara för mig vad jag behöver göra här? För att få fram tangenten kan man göra med hjälp av derivatan, om man skulle veta i vilken x-punkt som tangenten skär så kan man derivera funktionen och sätta in detta i derivata funktionen och på så sätt få fram k-värdet; men nu är ju både punkt A, B och C okända. Det sitter verkligen helt still i mitt huvud just nu med denna uppgift. 

Tacksam för all hjälp! 

/Nina 

joculator 1578 – Moderator
Postad: 29 jul 2019 Redigerad: 29 jul 2019

du kan räkna ut A,B och C

A genom att sätta f(x)=g(x)

 

Sedan kan du räkna ut de båda tangenterna.
Till slut kan du sätta respektive tangents ekvation lika med 0 för att få fram B och C

Laguna Online 5394
Postad: 29 jul 2019

Rita en bild, så får vi se om vi uppfattar uppgiften likadant. 

Taylor 551
Postad: 29 jul 2019

Punkten A är ytterst lätt att beräkna. Bilden och triangeln ABC kommer att vara spegelsymmetriska enligt axeln "y", vilket kan underlätta beräkningen lite.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

anonymousnina 237
Postad: 29 jul 2019
joculator skrev:

du kan räkna ut A,B och C

A genom att sätta f(x)=g(x)

 

Sedan kan du räkna ut de båda tangenterna.
Till slut kan du sätta respektive tangents ekvation lika med 0 för att få fram B och C

Jag får x=0 av att sätta e^x=e^-x, stämmer det? 

Ture 1627
Postad: 29 jul 2019

Ja, och vad blir y? 

anonymousnina 237
Postad: 29 jul 2019
Ture skrev:

Ja, och vad blir y? 

e^0=e^-0 ---> dvs. 1=1 ---> 1-1=0  så y är också noll? 

Yngve 11844 – Mattecentrum-volontär
Postad: 29 jul 2019 Redigerad: 29 jul 2019
anonymousnina skrev:
Ture skrev:

Ja, och vad blir y? 

e^0=e^-0 ---> dvs. 1=1 ---> 1-1=0  så y är också noll? 

Nej, i skärningspunkten är y=f(0)y=f(0), dvs y=e0=1y=e^0=1 (och eftersom f(0)=g(0)f(0)=g(0) så gäller där även att y=g(0)=e-0=1y=g(0)=e^{-0}=1).

Har du ritat en figur?

Om ja, visa den. Om nej, gör det och visa den.

Detta så att vi ser att du har förstått vad det är du beräknar.

anonymousnina 237
Postad: 29 jul 2019
Yngve skrev:
anonymousnina skrev:
Ture skrev:

Ja, och vad blir y? 

e^0=e^-0 ---> dvs. 1=1 ---> 1-1=0  så y är också noll? 

Nej, i skärningspunkten är y=f(0)y=f(0), dvs y=e0=1y=e^0=1 (och eftersom f(0)=g(0)f(0)=g(0) så gäller där även att y=g(0)=e-0=1y=g(0)=e^{-0}=1).

Har du ritat en figur?

Om ja, visa den. Om nej, gör det och visa den.

Detta så att vi ser att du har förstått vad det är du beräknar.

f(x)=e^x skär aldrig x-axeln. Skär y-axeln i 1. Hur g(x)=e^-x har jag inte kunnat lista ut än. 

Yngve 11844 – Mattecentrum-volontär
Postad: 29 jul 2019 Redigerad: 29 jul 2019
anonymousnina skrev:
f(x)=e^x skär aldrig x-axeln.

Det stämmer.

Skär y-axeln i 1.

Ja, det stämmer att den skär y-axeln vid y=1.

Hur g(x)=e^-x har jag inte kunnat lista ut än. 

Här förstår jag inte vad det är du inte har listat ut. Det står ju i uppgiften att g(x)=e-xg(x)=e^{-x}.

anonymousnina 237
Postad: 29 jul 2019
Yngve skrev:
anonymousnina skrev:
f(x)=e^x skär aldrig x-axeln.

Det stämmer.

Skär y-axeln i 1.

Ja, det stämmer att den skär y-axeln vid y=1.

Hur g(x)=e^-x har jag inte kunnat lista ut än. 

Här förstår jag inte vad det är du inte har listat ut. Det står ju i uppgiften att g(x)=e-xg(x)=e^{-x}.

Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem. 

Smaragdalena 27045 – Moderator
Postad: 29 jul 2019 Redigerad: 29 jul 2019

Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem.

Gör precis som du gjorde i Ma1: * Välj ett x-värde. Beräkna motsvarande y-värde. Pricka in punkten (x,y) i ett koordinatsystem. Upprepa från * tills du kan se hur kurvan ser ut.

Alternativt sätt

Kurvan g(x)=e-x är en spegelbild (i y-axeln) av kurvan f(x)=ex.

anonymousnina skrev:
Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem. 

Aha, då förstår jag.

Den ser ut som en exe^x som är speglad i y-axeln.

Dvs så här. Röd är exe^x, blå är e-xe^{-x}:

anonymousnina 237
Postad: 30 jul 2019
Yngve skrev:
anonymousnina skrev:
Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem. 

Aha, då förstår jag.

Den ser ut som en exe^x som är speglad i y-axeln.

Dvs så här. Röd är exe^x, blå är e-xe^{-x}:

Ok, super tack. Det står i uppgiften om triangeln A,B och C. Antar att triangeln då bör synas i koordinatsystemet. Vidare om att få fram funktionernas tangenter. Vilket man gör genom att derivera. Dvs: f(x)=e^x --> f'(x)=e^x och g(x)=e^-x----> g'(x)=-1*e^-x=g'(x)=e^-x  Därefter sitter det fast igen... 

anonymousnina skrev:
Yngve skrev:
anonymousnina skrev:
Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem. 

Aha, då förstår jag.

Den ser ut som en exe^x som är speglad i y-axeln.

Dvs så här. Röd är exe^x, blå är e-xe^{-x}:

Ok, super tack. Det står i uppgiften om triangeln A,B och C. Antar att triangeln då bör synas i koordinatsystemet. Vidare om att få fram funktionernas tangenter. Vilket man gör genom att derivera. Dvs: f(x)=e^x --> f'(x)=e^x och g(x)=e^-x----> g'(x)=-1*e^-x=g'(x)=e^-x  Därefter sitter det fast igen... 

Du bör själv rita in tangenterna i koordinatsystemet.

Det stämmer att f'(x)=exf'(x)=e^x, men du glömde minustecknet på g'(x)g'(x). Det ska vara g'(x)=-e-xg'(x)=-e^{-x}.

Sedan gäller det att f'(0)f'(0) är lutningen hos tangenten till f(x)f(x) i punkten A och att g'(0)g'(0) är lutningen hos tangenten till g(x)g(x) i punkten A.

Hitta tangenterna skärningspunkter med x-axeln så kan du beräkna triangelns bas.

Euclid 129
Postad: 30 jul 2019

Om vi börjar med att definiera arean:

Area=b·h2

Sen bestämmer du basen och höjden, börja med höjden:

h=ex för x då ex=e-x

Jag känner inte till något algebraiskt sätt att bestämma x så använder grafen:

e0=e-0 f(0)=1h=1

Basen beräknas genom att ta reda på tangenternas skärningspunkt till x-axeln:

b=xc-xb

Behöver bestämma tangenternas funktioner, börja med lutningen:

f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)hf'(x)=limh0ex+h-exhf'(x)=limh0ex·eh-exhf'(x)=limh0ex·(eh-1)h

Enligt Matteboken så utgår vi ifrån att:

limh0eh-1h=1så f'(x)=ex och g'(x)=-e-x

Nästa steg i att hitta tangentens funktion:

y-y1=m(x-x1)y-1=e0(x-0)Tf(x)=y=x+1

respektive:

y-y1=m(x-x1)y-1=-e0(x-0)Tg(x)=y=-x+1

Nu kan vi räkna ut skärningspunkterna vid B och C:

0=xc+1, xc=10=-xb+1, xb=-1

Sätt in värdena i formeln:

Area=b·h2=(1-(-1))·12=1

anonymousnina 237
Postad: 30 jul 2019
Euclid skrev:

Om vi börjar med att definiera arean:

Area=b·h2

Sen bestämmer du basen och höjden, börja med höjden:

h=ex för x då ex=e-x

Jag känner inte till något algebraiskt sätt att bestämma x så använder grafen:

e0=e-0 f(0)=1h=1

Basen beräknas genom att ta reda på tangenternas skärningspunkt till x-axeln:

b=xc-xb

Behöver bestämma tangenternas funktioner, börja med lutningen:

f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)hf'(x)=limh0ex+h-exhf'(x)=limh0ex·eh-exhf'(x)=limh0ex·(eh-1)h

Enligt Matteboken så utgår vi ifrån att:

limh0eh-1h=1så f'(x)=ex och g'(x)=-e-x

Nästa steg i att hitta tangentens funktion:

y-y1=m(x-x1)y-1=e0(x-0)Tf(x)=y=x+1

respektive:

y-y1=m(x-x1)y-1=-e0(x-0)Tg(x)=y=-x+1

Nu kan vi räkna ut skärningspunkterna vid B och C:

0=xc+1, xc=10=-xb+1, xb=-1

Sätt in värdena i formeln:

Area=b·h2=(1-(-1))·12=1

Hej!! STORT Tack för din förklaring. Uppgiften var svårare än vad jag trodde. Så arean är alltså 1?

Vad tror du betygsmässigt uppgiften ligger på? C-nivå? 

Euclid 129
Postad: 30 jul 2019

Uppgiften bygger på förståelsen för att kunna bestämma tangentens funktion. 

Svara Avbryt
Close