Grafer, beräkna area, derivata

du kan räkna ut A,B och C

A genom att sätta f(x)=g(x)

Sedan kan du räkna ut de båda tangenterna.
Till slut kan du sätta respektive tangents ekvation lika med 0 för att få fram B och C

Rita en bild, så får vi se om vi uppfattar uppgiften likadant. 

Punkten A är ytterst lätt att beräkna. Bilden och triangeln ABC kommer att vara spegelsymmetriska enligt axeln "y", vilket kan underlätta beräkningen lite.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

joculator skrev:

du kan räkna ut A,B och C

A genom att sätta f(x)=g(x)

 

Sedan kan du räkna ut de båda tangenterna.
Till slut kan du sätta respektive tangents ekvation lika med 0 för att få fram B och C

Jag får x=0 av att sätta e^x=e^-x, stämmer det? 

Ja, och vad blir y? 

Ture skrev:

Ja, och vad blir y? 

e^0=e^-0 ---> dvs. 1=1 ---> 1-1=0  så y är också noll? 

anonymousnina skrev:

Ture skrev:

Ja, och vad blir y? 

e^0=e^-0 ---> dvs. 1=1 ---> 1-1=0  så y är också noll? 

Nej, i skärningspunkten är $y=f(0)$, dvs $y=e^0=1$ (och eftersom $f(0)=g(0)$ så gäller där även att $y=g(0)=e^{-0}=1$).

Har du ritat en figur?

Om ja, visa den. Om nej, gör det och visa den.

Detta så att vi ser att du har förstått vad det är du beräknar.

Yngve skrev:

anonymousnina skrev:

Visa föregående citat

Ture skrev:

Ja, och vad blir y? 

e^0=e^-0 ---> dvs. 1=1 ---> 1-1=0  så y är också noll? 

Nej, i skärningspunkten är $y=f(0)$, dvs $y=e^0=1$ (och eftersom $f(0)=g(0)$ så gäller där även att $y=g(0)=e^{-0}=1$).

Har du ritat en figur?

Om ja, visa den. Om nej, gör det och visa den.

Detta så att vi ser att du har förstått vad det är du beräknar.

f(x)=e^x skär aldrig x-axeln. Skär y-axeln i 1. Hur g(x)=e^-x har jag inte kunnat lista ut än. 

anonymousnina skrev:

f(x)=e^x skär aldrig x-axeln.

Det stämmer.

Skär y-axeln i 1.

Ja, det stämmer att den skär y-axeln vid y=1.

Hur g(x)=e^-x har jag inte kunnat lista ut än. 

Här förstår jag inte vad det är du inte har listat ut. Det står ju i uppgiften att $g(x)=e^{-x}$.

Yngve skrev:

anonymousnina skrev:

f(x)=e^x skär aldrig x-axeln.

Det stämmer.

Skär y-axeln i 1.

Ja, det stämmer att den skär y-axeln vid y=1.

Hur g(x)=e^-x har jag inte kunnat lista ut än. 

Här förstår jag inte vad det är du inte har listat ut. Det står ju i uppgiften att $g(x)=e^{-x}$.

Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem. 

Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem.

Gör precis som du gjorde i Ma1: * Välj ett x-värde. Beräkna motsvarande y-värde. Pricka in punkten (x,y) i ett koordinatsystem. Upprepa från * tills du kan se hur kurvan ser ut.

anonymousnina skrev:

Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem. 

Aha, då förstår jag.

Den ser ut som en $e^x$ som är speglad i y-axeln.

Dvs så här. Röd är $e^x$, blå är $e^{-x}$:

Yngve skrev:

anonymousnina skrev:

Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem. 

Aha, då förstår jag.

Den ser ut som en $e^x$ som är speglad i y-axeln.

Dvs så här. Röd är $e^x$, blå är $e^{-x}$:

Ok, super tack. Det står i uppgiften om triangeln A,B och C. Antar att triangeln då bör synas i koordinatsystemet. Vidare om att få fram funktionernas tangenter. Vilket man gör genom att derivera. Dvs: f(x)=e^x --> f'(x)=e^x och g(x)=e^-x----> g'(x)=-1*e^-x=g'(x)=e^-x  Därefter sitter det fast igen... 

anonymousnina skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

anonymousnina skrev:

Visa föregående citat

Jag menade hur jag skulle rita upp den på ett koordinatsystem. 

Aha, då förstår jag.

Den ser ut som en $e^x$ som är speglad i y-axeln.

Dvs så här. Röd är $e^x$, blå är $e^{-x}$:

Ok, super tack. Det står i uppgiften om triangeln A,B och C. Antar att triangeln då bör synas i koordinatsystemet. Vidare om att få fram funktionernas tangenter. Vilket man gör genom att derivera. Dvs: f(x)=e^x --> f'(x)=e^x och g(x)=e^-x----> g'(x)=-1*e^-x=g'(x)=e^-x  Därefter sitter det fast igen... 

Du bör själv rita in tangenterna i koordinatsystemet.

Det stämmer att $f'(x)=e^x$, men du glömde minustecknet på $g'(x)$. Det ska vara $g'(x)=-e^{-x}$.

Sedan gäller det att $f'(0)$ är lutningen hos tangenten till $f(x)$ i punkten A och att $g'(0)$ är lutningen hos tangenten till $g(x)$ i punkten A.

Hitta tangenterna skärningspunkter med x-axeln så kan du beräkna triangelns bas.

Om vi börjar med att definiera arean:

$Area=\frac{b·h}{2}$

Sen bestämmer du basen och höjden, börja med höjden:

$h=e^x för x då e^x=e^{-x}$

Jag känner inte till något algebraiskt sätt att bestämma x så använder grafen:

$e^0=e^{-0 \Rightarrow }f\left(0\right)=1\Rightarrow h=1$

Basen beräknas genom att ta reda på tangenternas skärningspunkt till x-axeln:

$b=x_c-x_b$

Behöver bestämma tangenternas funktioner, börja med lutningen:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x·e^h-e^x}{h} \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x·(e^h-1)}{h} \end{gathered}$$

Enligt Matteboken så utgår vi ifrån att:

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=1 \\ så f\text{'}\left(x\right)=e^x och g\text{'}\left(x\right)=-e^{-x} \end{gathered}$$

Nästa steg i att hitta tangentens funktion:

$$\begin{gathered} y-y_1=m(x-x_1) \\ y-1=e^0(x-0) \\ {T}_f\left(x\right)=y=x+1 \end{gathered}$$

respektive:

$$\begin{gathered} y-y_1=m(x-x_1) \\ y-1=-e^0(x-0) \\ {T}_g\left(x\right)=y=-x+1 \end{gathered}$$

Nu kan vi räkna ut skärningspunkterna vid B och C:

$$\begin{gathered} 0=x_c+1, x_c=1 \\ 0=-x_b+1, x_b=-1 \end{gathered}$$

Sätt in värdena i formeln:

$Area=\frac{b·h}{2}=\frac{(1-(-1\left)\right)·1}{2}=1$

Euclid skrev:

Om vi börjar med att definiera arean:

$Area=\frac{b·h}{2}$

Sen bestämmer du basen och höjden, börja med höjden:

$h=e^x för x då e^x=e^{-x}$

Jag känner inte till något algebraiskt sätt att bestämma x så använder grafen:

$e^0=e^{-0 \Rightarrow }f\left(0\right)=1\Rightarrow h=1$

Basen beräknas genom att ta reda på tangenternas skärningspunkt till x-axeln:

$b=x_c-x_b$

Behöver bestämma tangenternas funktioner, börja med lutningen:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x·e^h-e^x}{h} \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x·(e^h-1)}{h} \end{gathered}$$

Enligt Matteboken så utgår vi ifrån att:

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=1 \\ så f\text{'}\left(x\right)=e^x och g\text{'}\left(x\right)=-e^{-x} \end{gathered}$$

Nästa steg i att hitta tangentens funktion:

$$\begin{gathered} y-y_1=m(x-x_1) \\ y-1=e^0(x-0) \\ {T}_f\left(x\right)=y=x+1 \end{gathered}$$

respektive:

$$\begin{gathered} y-y_1=m(x-x_1) \\ y-1=-e^0(x-0) \\ {T}_g\left(x\right)=y=-x+1 \end{gathered}$$

Nu kan vi räkna ut skärningspunkterna vid B och C:

$$\begin{gathered} 0=x_c+1, x_c=1 \\ 0=-x_b+1, x_b=-1 \end{gathered}$$

Sätt in värdena i formeln:

$Area=\frac{b·h}{2}=\frac{(1-(-1\left)\right)·1}{2}=1$

Hej!! STORT Tack för din förklaring. Uppgiften var svårare än vad jag trodde. Så arean är alltså 1?

Vad tror du betygsmässigt uppgiften ligger på? C-nivå? 

Uppgiften bygger på förståelsen för att kunna bestämma tangentens funktion.