Grändvärde

Bryt ut $e^{4x}$ i täljaren så får du:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{\ln \left(e^{4x}\left(1+e^x\right)\right)}{x}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{\ln \left(e^{4x})+\ln \left(1+e^x\right)\right)}{x}\right)= \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{4x+\left(1+e^x\right)}{x}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(4+\frac{\ln \left(1+e^x\right)}{x}\right) \end{gathered}$$

Kommer du vidare? :)

Smutstvätt skrev:

Bryt ut $e^{4x}$ i täljaren så får du:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{\ln \left(e^{4x}\left(1+e^x\right)\right)}{x}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{\ln \left(e^{4x})+\ln \left(1+e^x\right)\right)}{x}\right)= \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{4x+\left(1+e^x\right)}{x}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(4+\frac{\ln \left(1+e^x\right)}{x}\right) \end{gathered}$$

Kommer du vidare? :)

Ursäkta sent svar.  Tror jag är med, det är väl bara att fortsätta jobba på$\frac{\ln (1+e^{x^{}})}{x}$ separat. Där gränsvärdet bör vara 1 vilket ger svaret 5?

Det stämmer! 

Hej Rasmus,

Bryt ut den dominerande termen i täljaren.

    $e^{4x}+e^{5x} = e^{5x}(1+e^{-x}).$

Då blir kvoten

    $\frac{\ln e^{5x}(1-e^{-x})}{x} = \frac{5x + \ln(1+e^{-x})}{x} = 5 + \frac{\ln(1+e^{-x})}{x}.$

Sedan kan du skriva

    $\frac{\ln (1+e^{-x})-\ln 1}{x} = \frac{1}{c_x} \cdot \frac{e^{-x}}{x}$

enligt Lagranges medelvärdessats, där $c_x$ är ett tal någonstans mellan $1$ och $1+e^{-x}.$ Då ser du att den andra termen i gränsvärdet går mot 0 vilket ger det önskade resultatet.