Gränsvärde

Derivatan av funktionen $f(x)$ kan definieras som $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Om vi har att $f(x)=5^x$ så gäller det att $f(x+h)=5^{x+h}$, vilket ger oss

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{5^{x+h}-5^x}{h}$

Derivatans värde vid $x=0$ blir då

$f'(0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{5^{0+h}-5^0}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{5^h-1}{h}$

Blev det tydligare då?

Dr.scofield skrev:

Hej! Jag förstår varken uppgiften eller facits lösning till denna uppgift. Kan någon vara snäll och förklara? Tack på förhand!

Uppgiften:

Uppgiften är att bestämma gränsvärdet av $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{5^x-1}{x}$.

Man kan testa med miniräknare men det står att du ska ge ett exakt värde.

Vidare ges det en ledning att det går genom att skriva uttrycket som formeln för derivata av någonting.

(Alternativa metoder skulle vara att skriva 5^x som en serieutveckling. Eller med en exponentialfunktion av e.)