Gränsvärde

Jag tänker på asymptoter som räta linjer som en kurva närmar sig men aldrig korsar.

Du har alldeles rätt i att funktionen inte är definierad för x=0, men den går inte inte mot $\pm \infty$. Den korsar punkten som den inte är definierad i, vilket stämmer med min tumregel.

Någon som är duktigare på detta kan gärna få visa hur man kan visa att det inte är en asymptot. Jag tror det heter removable discontinuity om du vill leta lite information på egen hand. 

user54321 skrev:

Hej varför är x=0 inte en asymptot

Bara ett påpekande: Uppgiften handlar inte om limit till x=0. 

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

 

Pieter Kuiper skrev:

user54321 skrev:

Hej varför är x=0 inte en asymptot

Bara ett påpekande: Uppgiften handlar inte om limit till x=0. 

Det vet jag men jag själv vill undersöka asymptoterna till funktionen och undrar varför x=0 inte är en asymptot

En funktion $f(x)$ sägs ha en lodrät asymptot $x=a$ om antingen $\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm\infty$ eller om $\lim_{x\to a^-} \pm \infty$, eller båda.

Exempelvis har funktionen $f(x)=\frac{3}{x-1}$ en lodrät asymptot $x=1$ eftersom

$\lim_{x\to 1^-} \frac{3}{x-1} = -\infty$. Vi har även att

$\lim_{x\to 1^+}\frac{3}{x-1} = \infty$.

För den givna funktionen har vi att

$\lim_{x\to 0} \frac{4x}{x^2+2x} = \lim_{x\to 0}\frac{4}{x+2} = \frac{4}{2} = 2$.

Alltså är $x=0$ inte en asymptot till funktionen.

Gustor skrev:

En funktion $f(x)$ sägs ha en lodrät asymptot $x=a$ om antingen $\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm\infty$ eller om $\lim_{x\to a^-} \pm \infty$, eller båda.

Exempelvis har funktionen $f(x)=\frac{3}{x-1}$ en lodrät asymptot $x=1$ eftersom

$\lim_{x\to 1^-} \frac{3}{x-1} = -\infty$. Vi har även att

$\lim_{x\to 1^+}\frac{3}{x-1} = \infty$.

För den givna funktionen har vi att

$\lim_{x\to 0} \frac{4x}{x^2+2x} = \lim_{x\to 0}\frac{4}{x+2} = \frac{4}{2} = 2$.

Alltså är $x=0$ inte en asymptot till funktionen.

Menar du att funktionen istället närmar sig värdet 2 , blir 2 en asymptot?

user54321 skrev:

Gustor skrev:

En funktion $f(x)$ sägs ha en lodrät asymptot $x=a$ om antingen $\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm\infty$ eller om $\lim_{x\to a^-} \pm \infty$, eller båda.

Exempelvis har funktionen $f(x)=\frac{3}{x-1}$ en lodrät asymptot $x=1$ eftersom

$\lim_{x\to 1^-} \frac{3}{x-1} = -\infty$. Vi har även att

$\lim_{x\to 1^+}\frac{3}{x-1} = \infty$.

För den givna funktionen har vi att

$\lim_{x\to 0} \frac{4x}{x^2+2x} = \lim_{x\to 0}\frac{4}{x+2} = \frac{4}{2} = 2$.

Alltså är $x=0$ inte en asymptot till funktionen.

Menar du att funktionen istället närmar sig värdet 2 , blir 2 en asymptot?

Nej, en lodrät asymptot $x=a$ finns endast om funktionen går mot plus eller minus oändligheten när $x$ närmar sig $a$. I vårt fall är $a=0$ och funktionen närmar sig talet 2 då $x\to a$. Jag angav definitionen för en lodrät asymptot i mitt förra inlägg. Eftersom funktionen närmar sig värdet 2 och inte plus eller minus oändligheten när $x$ närmar sig $0$ så är $x=0$ inte en lodrät asymptot.