Gränsvärde

Dr.scofield skrev:

Hej! Jag sitter här och repeterar gränsvärde avsnittet inom derivata, och lade märke till att jag helt glömt bort två saker. 

• Hur beräknas gränsvärdet för x  som går mot oändligheten eller -oändligheten?

Du har vanligtvis ett uttryck för vilket du ska bestämma gränsvärdet, exempelvis $\frac{3x+1}{x}$. Om du nu förkortar med $x$ så blir uttrycket $\frac{3+\frac{1}{x}}{1}=3+\frac{1}{x}$.

Om du nu låter $x\rightarrow +\infty$ så går uttrycket mot 3 eftersom den sista termen går mot 0.

Fråga till dig: Vad händer då $x\rightarrow -\infty$?

• Hur vet jag att ett gränsvärde saknas för en viss funktion? 

Det är om uttrycket inte går mot ett konstant värde.

Exempel: Uttrycket $\frac{3x^2+1}{x}$ kan enligt ovanstående skrivas om till $3x+\frac{1}{x}$. Om du nu låter $x\rightarrow\pm\infty$ så går inte uttrycket mot ett konstant värde. Gränsvärdet saknas.

Nu kommer några frågor hehe...

Varför går den sista termen mot 0? Det står ingenstans att den ska göra det, när antar jag själv att den ska det? (+ varför är det just 1/x som går mot 0?) 

Jag vet tyvärr inte vad som händer då x går mot -oändligheten. 

Hur visste du att uttrycket 3x + 1/x inte går mot ett konstant värde då x går mot ± oändligheten? 

Dr.scofield skrev:

Nu kommer några frågor hehe...

Varför går den sista termen mot 0? Det står ingenstans att den ska göra det, när antar jag själv att den ska det? (+ varför är det just 1/x som går mot 0?) 

I uttrycket 3+1/x så har den första termen värdet 3, oavsett vad x har för värde. Den andra termen 1/x går mot 0 då x går mot oändligheten.

Om du känner dig osäker på det så kan du beräkna värdet av 1/x för växande väden på x, förslagsvis x = 100, x = 100 000, x = 10⁹, x = 10¹⁸ och så vidare. Du ser då att 1/x är ett positivt tal som blir mindre och mindre.

Utrycket blir alltså 3 plus något jättelitet positivt tal. Om nu x går mot oändligheten så går uttryckets värde mot 3.

Är du med på det?

Jag vet tyvärr inte vad som händer då x går mot -oändligheten. 

Försök att föra samma resonemang som ovan. Den enda skillnaden är att 1/x då är ett negativt tal som närmar sig 0 mer och mer ju lägre x blir. Pröva med exempelvis x = -100 000, x = -10⁹, x = -10¹⁸ och så vidare.

Hur visste du att uttrycket 3x + 1/x inte går mot ett konstant värde då x går mot ± oändligheten? 

Då x går mot oändligheten så går andra termen 1/x mot 0 som ovan, men första termen 3x går mot oändligheten, vilket inte är ett konstant värde. Det finns ingen övre (eller undre) gräns för uttryckets värde.

Jag hänger med på allt nu! Dock inte hur jag ska resonera kring frågan du ställde. Jag gissar så här: Då x går mot -oändligheten kommer gränsvärdet fortfarande saknas då 3x inte går mot ett konstant värde, men om det bara stod "3" hade kanske det blivit -3? Ren gissning. 

Dr.scofield skrev:

Jag hänger med på allt nu!

Bra!

Dock inte hur jag ska resonera kring frågan du ställde. Jag gissar så här: Då x går mot -oändligheten kommer gränsvärdet fortfarande saknas då 3x inte går mot ett konstant värde,

Det stämmer. Gränsvärdet $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{3x^2+1}{x}$ saknas.

men om det bara stod "3" hade kanske det blivit -3? Ren gissning. 

Har du prövat att räkna på det sättet jag beskrev I svar #4?

Ja.. eller jag förstod inte riktigt hur jag skulle tänka på det sättet 😅

Beräkna värdet av 3+1/x då x = -100 000, då x = -10⁹, då x = -10¹⁸.

Vad får du för resultat?

Superstort tal, kanske att 3:an inte längre gör skillnad? 

Jag skrev fel på det sista x-vördet, har rättat nu.

Kan du räkna igen, visa hur du räknar och vad du får för resultat?

då x = - 100 000 får jag 2.99999

då x = -10⁹ får jag 2,999999999

då x = -10¹⁸ får jag 3

Alltså ger både + och - oändligheten samma svar? 

Bra, det stämmer, förutom att 3+1/(-10¹⁸) inte är 3 utan istället nästan 3 (egentligen 2,999...(en massa nior)).

Om man ritar grafen till 3+1/x så ser den ut så här:

Vi ser att grafen närmar sig y = 3 mer och mer ju längre bort från origo vi kommer. Till höger närmar sig grafen y = 3 uppifrån, till vänster underifrån.

Ser du hur det hänger ihop då?

Jajamän! (Min miniräknare visade 3 direkt). 

Alltså finns ingen skillnad i svaret när x ska gå mot + och - oändligheten?

Dr.scofield skrev:

Jajamän! (Min miniräknare visade 3 direkt). 

Ja, den avrundade.

Alltså finns ingen skillnad i svaret när x ska gå mot + och - oändligheten?

Det stämmer (i det här fallet).

Oooookej! Förresten, kan ett gränsvärde även saknas om x inte går mot ± oändligheten, utan mot en viss siffra? 

Ja. När x går mot 0 i funktionen ovan så saknas gränsvärde.

Just det ja! Kan det även saknas gränsvärde när x närmar sig ett annat tal? Alltså finns det vissa fall där vanliga tal som x går mot gör att värdet inte blir konstant och därmed saknas?

Dr.scofield skrev:

Just det ja! Kan det även saknas gränsvärde när x närmar sig ett annat tal? Alltså finns det vissa fall där vanliga tal som x går mot gör att värdet inte blir konstant och därmed saknas?

Ja, t.ex. i uttrycket 1/(x-1).

Vad händer där om x går mot 1?

Blir odefinierat, samma resonemang som när x = 0. Finns det ytterligare exempel?

Dr.scofield skrev:

Blir odefinierat, samma resonemang som när x = 0. Finns det ytterligare exempel?

En intressant är nog denna:

$\displaystyle \lim_{x\to 5}{\frac{x^2-25}{x-5}}$

Testa med räknare!

Blir ett hål där x = 5 av samma anledning. Blir svaret 10? :D 

Dr.scofield skrev:

Blir ett hål där x = 5 av samma anledning. Blir svaret 10? :D 

Det stämmer!

Jag missade att du kanske frågade efter när gränsvärdet inte existerar. Intuitivt kan du tänka att om gränsvärdet går mot "$\frac{a}{0}$" där $a$ är något tal som inte är 0, så kommer gränsvärdet inte existera.

$\dfrac{1}{x-1}$ när $x\to 1$ går ju mot "$\dfrac 10$". 

Men i exemplet ovan går både nämnaren och täljaren mot 0. Då kan det ha ett värde (men det behöver det inte alltid ha)!

Okeeeeej! Det jag försökte komma fram till är vilka situationer det finns där gränsvärdet kan saknas. Alla exempel som diskuterades handlade antingen om när nämnaren är noll eller när en siffra är multiplicerad med en variabel som går mot oändligheten, eftersom den då blir icke-konstant. Om det finns mer att tillägga blir jag tacksam om ni gör det! Annars stort tack till alla som har hjälpt mig! :D

(Också kommit fram till att gränsvärdet blir samma oavsett om x går mot + eller - oändligheten). Skriver detta så att jag kommer ihåg det.

Dr.scofield skrev:

Okeeeeej! Det jag försökte komma fram till är vilka situationer det finns där gränsvärdet kan saknas. Alla exempel som diskuterades handlade antingen om när nämnaren är noll eller när en siffra är multiplicerad med en variabel som går mot oändligheten, eftersom den då blir icke-konstant. Om det finns mer att tillägga blir jag tacksam om ni gör det! Annars stort tack till alla som har hjälpt mig! :D 

Det finns ett till scenario som jag kan tänka på just nu. Dock vet jag inte riktigt om det tas upp i ma3. 
Det är när man har gränsvärden med periodiska funktioner. 

Exempelvis $\lim_{x\to\infty}\sin x$

$\sin x$ kommer studsa upp och ned mellan -1 och 1 hela tiden, det kommer aldrig stanna upp och gå mot ett visst värde. Alltså kan detta gränsvärde inte existera. 

Tillägg: 13 maj 2025 14:24

Självklart kan man ha gränsvärden som inkluderar periodiska funktioner som får ett värde. Exempelvis gäller det att

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}x = 0$

Känner enorm tacksamhet över att detta inte ingår i kursen 🤣 Men stort tack för hjälpen! 

Jag vet inte om det gör det. Men jag minns inget om gränsvärden med trigonometriska funktioner från när jag gick ma3.

När jag tänker efter lite mer borde det inte göra det. Vi gick över trigonometri översiktligt i matte 1 och kom tillbaka i matte 4 för att lära oss lite mer detaljer om dem. Då borde GRÄNSVÄRDEN om dem inte vara del av matte 3. 

Just nu arbetar vi med gränsvärde och trigonometri som 2 helt separata områden, därför har vi inte gått igenom något sådant alls. Skapar ny tråd i augusti annars och ber om hjälp med det!

Ja juste, trigonometri dyker ju faktiskt upp i slutet av ma3, det glömde jag. Jag tvekar starkt på att de kommer kombinera gränsvärden och trig. Det är nog mer i matte 4 när man verkligen börjar kika på dem som funktioner istället för deras geometriska innebörd. 

Helt rätt. Kursen är slut och vi hann aldrig kombinera dem (tur), ser inte fram emot ma4.

Det kommer säkert bli bra i ma4!

Det var min favorit av 1-5 tror jag.