Gränsvärde

Vet du hur man gör en maclaurinutveckling? Det skulle vara effektivt för att ta fram gränsvärdet!

rohanzyli skrev:

Vet du hur man gör en maclaurinutveckling? Det skulle vara effektivt för att ta fram gränsvärdet!

 Ja, ska jag göra en av hela funktionen? Och vad gör man utav den sen i så fall? 

Nja, Taylorutveckla de svåra delarna av funktionen, $ln(x+1)$ och $ln(x)$ så att du får polynomuttryck istället.

Ja man använder det mycket för att ta fram gränsvärden i universitetskurser!

Maclaurinutveckla det du kan i uttrycket, dvs ln. Och bryt ut den dominerande termen så kommer du att kunna stryka termer i nämnare och täljare.

Letar igenom min kursbok men hittar inget kapitel som förklarar hur man går tillväga, skulle någon kunna förklara lite mer utförligt vad stegen för det här är, varför jag gör en mclaurinutveckling av vissa värden, hur långt ska jag utveckla osv

Man vet inte riktigt hur långt man behöver utveckla men man brukar göra 3-4 termer iaf, man ser om det räcker eller inte för att stryka ut termer mot varandra, annars får man göra om och lägga till en term till. Man kan aldrig ha för många termer med men det blir jobbigare att räkna då bara. 

Får du sådana här uppgifter så gör ett enda stort bråk av allt först.

$$\begin{gathered} \frac{1-x(\ln \left(x+1\right)-\ln \left(x\right))}{\ln \left(x+1\right)-\ln \left(x\right)}=\frac{1-x\times \ln \left(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}. \\ \ln (1+x) är en s\tan dardutveckling så) \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=t, t\to 0 då x\to \infty . \\ \ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\phi (t^3), \to \ln (1+x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\phi (\frac{1}{x^3}) \end{gathered}$$

Såhär utvecklar man alltså uttrycker via maclaurin. Nu är det bara att börja bryta dominerande termer och stryka!

På sista raden när du skriver $ln(1+x)$ menar du väl $ln(1+\frac{1}{x})$?

Ja det menar jag! Bra att du såg det!

Jag förstår fortfarande inte hur jag ska få ut något från det här. 
Kommer fram till $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1 - x({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}+ {\displaystyle \frac{1}{3x^{3^{}}}}....)}{(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+ \frac{1}{3x^{3^{}}}....)}$  även om jag gångrar in x och får 1-1 så att ettan försvinner så blir väl resten ändå 0/0? Eller har jag gjort något fel?

Nej du har gjort rätt, men är inte riktigt klar än!

$\frac{{\displaystyle (\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^2}+\phi (\frac{1}{x^3}\left)\right)}}{{\displaystyle (\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x^3}}))}}$, här har du möjlighet att bryta ut dominerande termer. Fundera över vad det kan vara när $x\to \infty$.