10 svar
82 visningar
dajamanté är nöjd med hjälpen
dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 13:42

Gransvärde

Här kommer en övning med facit. Det har vi löst i skola men jag har fortfarande två saker kvar som känns oklara:

 

Hur kan vi ersätta kn\frac{k}{n} med xx med god samvete?

 

Också, hur skiljer vi rena Riemmansummor vs Riemmansummor som vi använder i Koshi-integral testet?

Smutstvätt 17460 – Moderator
Postad: 7 mar 2019 15:46

Skriv ut alltsammans så blir det lättare att se:

limnk=1nn+kn41/3=limn1nn+1n1/3+n+2n1/3+n+3n1/3+...+n+nn1/3=

limn1n1+1n1/3+1+2n1/3+...+1+nn1/3

Vi börjar vid 1/n, dvs. praktiskt taget noll, och slutar vid n/n, dvs. 1. Därför sätter vi integralgränserna till noll och ett. Eftersom vi har valt steglängden 1/n, är stegen vi tar 1·1n, 2·1n, 3·1n, ... , n·1n. Börjar du ana var x:et i integranden kommer ifrån?

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 16:37

Men is borde det inte vara x/n typ?

Smutstvätt 17460 – Moderator
Postad: 7 mar 2019 18:19

Nej, eftersom vår steglängd, alltså x:et vi sätter in i f(x), är k/n. 

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 19:34

Can't buy it. Förklara som när du förklarar till en liten gullig hund som vägrar gå trots att man drar på koppel.

Albiki 5096
Postad: 7 mar 2019 20:15 Redigerad: 7 mar 2019 20:21

Integralen 01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)\,dx kan approximeras av en summa på följande sätt.

  1. Dela in integrationsområdet [0,1][0,1] i nn stycken lika stora delar:

        [0,1n)[1n,2n)[n-1n,1].[0,\frac{1}{n})\cup[\frac{1}{n},\frac{2}{n})\cup\cdots\cup[\frac{n-1}{n},1].

2. Integralen skrivs som en summa av integraler.

    01f(x)dx=01/nf(x)dx+1/n2/nf(x)dx++1-1/n1f(x)dx.\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \int_{0}^{1/n}f(x)\,dx + \int_{1/n}^{2/n}f(x)\,dx+\cdots+\int_{1-1/n}^{1}f(x)\,dx.

3. Över ett intervall [k/n,k/n+1n)[k/n,k/n+\frac{1}{n}) approximeras funktionen f(x)f(x) med den konstanta funktionen f(x)=f(k/n)f(x) = f(k/n) vilket gör att integralen över detta intervall approximeras med talet f(k/n)·1n.f(k/n)\cdot \frac{1}{n}.

    k/nk/n+1nf(x)dxk/nk/n+1/nf(k/n)dx=f(k/n)·k/nk/n+1/ndx=f(k/n)·1n.\displaystyle\int_{k/n}^{k/n+\frac{1}{n}}f(x)\,dx \approx \int_{k/n}^{k/n+1/n}f(k/n)\,dx = f(k/n)\cdot\int_{k/n}^{k/n+1/n}\,dx = f(k/n)\cdot \frac{1}{n}.

4. Integralen över intervallet [0,1][0,1] approximeras av en summa av sådana tal.

    01f(x)dxf(1/n)·1n+f(2/n)·1n++f(1-1n)·1n.\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx f(1/n)\cdot \frac{1}{n} + f(2/n)\cdot \frac{1}{n} + \cdots + f(1-\frac{1}{n})\cdot \frac{1}{n}.

5. Kortfattat kan detta skrivas 

    01f(x)dx1n·k=1n-1f(k/n).\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx \frac{1}{n} \cdot\sum_{k=1}^{n-1}f(k/n).

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 20:18

Jaaaa.... poletterna börjar att skaka loss...

Albiki 5096
Postad: 7 mar 2019 20:20 Redigerad: 7 mar 2019 20:21

Den givna summan kan skrivas som en sådan så kallad Riemannsumma.

    (n+kn4)1/3=(n+kn·1n3)1/3=(1+kn)1/3·1n1nk=1n-1(1+kn)1/3=1nk=1n-1f(k/n)(\frac{n+k}{n^4})^{1/3} = (\frac{n+k}{n} \cdot \frac{1}{n^3})^{1/3} = (1+\frac{k}{n})^{1/3} \cdot \frac{1}{n} \implies \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} (1+\frac{k}{n})^{1/3} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} f(k/n)

där funktionen ff definieras som

    f(x)=(1+x)1/3f(x) = (1+x)^{1/3} för 0x10\leq x\leq1.

dajamanté 5139
Postad: 8 mar 2019 06:26

Tack Albiki o Smutso. Jag antar man måste vänja sig :)

Laguna 15904
Postad: 8 mar 2019 11:55
dajamanté skrev:

Också, hur skiljer vi rena Riemmansummor vs Riemmansummor som vi använder i Koshi-integral testet?

Stavar man så på franska numera?

dajamanté 5139
Postad: 8 mar 2019 12:04

Nej man stavar Cauchy såklart. Men jag skriver Koshi för att vi har en running joke, att folk utalar det dåligt i Sverige, som om det var Couch(surfing)chy. Personen i fråga som är också på PA vet vad vi menar med det ;).

Svara Avbryt
Close