Gränsvärde

$\lim_{x\rightarrow \pi}\dfrac{x-\pi}{\sin 2x}$.

Prova med ett variabelbyte samt trig. omskrivning.

Jag låter ”standardgränsvärde” slinka över mina läppar ....

Jag skulle först köra på $t=2x$ så att du får:

$\lim_{x\to\pi}\dfrac{x-\pi}{\sin(2x)}=\lim_{t\to2\pi}\dfrac{t/2-\pi}{\sin(t)}=\lim_{t\to2\pi}\dfrac{t-2\pi}{2\sin(t)}$

Nu händer något spännande om vi låter $u=t-2\pi$. Kan du se vad jag menar?

AlvinB skrev:

Jag skulle först köra på $t=2x$ så att du får:

$\lim_{x\to\pi}\dfrac{x-\pi}{\sin(2x)}=\lim_{t\to2\pi}\dfrac{t/2-\pi}{\sin(t)}=\lim_{t\to2\pi}\dfrac{t-2\pi}{2\sin(t)}$

Nu händer något spännande om vi låter $u=t-2\pi$. Kan du se vad jag menar?

Jag tror det! Du kan hädan efter utveckla sin i nämnare enligt additionsformeln för att få u/sin(u) varefter gränsvärdet går mot 1/2 då u går mot noll? Tack.

Ja. Med $u=t-2\pi$ får vi:

$\dfrac{1}{2}\cdot\lim_{u\to0}\dfrac{u}{\sin(u)}=\dfrac{1}{2}\cdot\lim_{u\to0}(\dfrac{\sin(u)}{u})^{-1}=\dfrac{1}{2}\cdot(\lim_{u\to0}\dfrac{\sin(u)}{u})^{-1}=$

Detta är ett välkänt standardgränsvärde, och vi får:

$=\dfrac{1}{2}\cdot 1^{-1}=\dfrac{1}{2}$

En litet tips för att slippa använda additionsformeln är att komma ihåg att perioden för sinusfunktionen är $2\pi$, och alltså blir $\sin(x+2\pi n)=\sin(x)$ för alla $n\in\mathbb{Z}$. Detta ger oss direkt att $\sin(u-2\pi)=\sin(u)$.