Gränsvärde

Jag antar att dina beräkningar är korrekta. Du kom fram till att gränsvärdet är olika då funktionen närmar sig x=2 från höger och från vänster. Detta innebär att funktionen inte är kontinuerlig i x=2. Alltså saknas gränsvärdet i x=2, vilket är den slutsats som din lärare frågar efter.

Hej!

Du har kommit fram till $\frac{x^3+4x^2+x-6}{x^2-4} = \frac{(x-1)(x+3)}{x-2}.$

Om $x$ avtar mot $2$ så växer kvoten obegränsat uppåt; det vill säga

    $\frac{(x-1)(x+3)}{x-2} \uparrow \infty$ när $x \downarrow 2.$

Högergränsvärde saknas alltså.

Om $x$ växer mot $2$ så avtar kvoten obegränsat nedåt; det vill säga

    $\frac{(x-1)(x+3)}{x-2} \downarrow -\infty$ när $x \uparrow 2.$

Vänstergränsvärde saknas alltså.

Eftersom högergränsvärde inte är lika med vänstergränsvärde så existerar inte det sökta gränsvärde

    $\lim_{x\to 2} \frac{x^3+4x^2+x-6}{x^2-4}.$

Albiki

P. S. Det finns de som skulle säga att $\infty$ och $-\infty$ är oegentliga gränsvärden, men eftersom varken $\infty$ eller $-\infty$ betecknar reella tal så anser jag att det är olämpligt att kalla dem gränsvärden (även om de skulle vara oegentliga). D. S.