17 svar
180 visningar
Micimacko är nöjd med hjälpen!
Micimacko 401
Postad: 1 aug 2019

Gränsvärde blir fel

Jag hittar inte var jag gjort fel. Enligt facit ska svaret vara +4. 

Dr. G Online 4465
Postad: 1 aug 2019

Du har inga i:n i exponenterna. Det blir således inte sin(x),utan sinh(x).

Micimacko 401
Postad: 1 aug 2019

🤦‍♀️😅

tomast80 2467
Postad: 1 aug 2019 Redigerad: 1 aug 2019

Man kan också identifiera detta som andraderivatan:

f''(0)=limx0f(x)-2·f(0)+f(-x)x2f''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-2\cdot f(0)+f(-x)}{x^2}

för f(x)=e2xf(x)=e^{2x}

f''(x)=22e2xf''(x)=2^2e^{2x}\Rightarrow

f''(0)=4·e0=4f''(0)=4\cdot e^0=4

Albiki 4130
Postad: 1 aug 2019

Hej,

Uttrycket kan skrivas 4·(ex-e-xx-(-x))24\cdot(\frac{e^{x}-e^{-x}}{x-(-x)})^2 där kvoten närmar sig derivatan till funktionen exe^x i punkten x=0x=0xx närmar sig noll.

Laguna Online 5394
Postad: 1 aug 2019

Man kan använda ex = 1 + x + x2/2 + x3/6 + ... också.

Micimacko 401
Postad: 1 aug 2019

Alla förslag här är flera kapitel fram i boken, det som var tänkt att göra var att förlänga med e^2x och sen få standardgränsvärde (e^x-1)/x fast med 2x och i kvadrat. Jag roade mig med att köra vidare på påbörjat spår. Får man göra såhär? Blev ju rätt svar iaf. 

Laguna Online 5394
Postad: 1 aug 2019

l'Hôpitals regel då?

Micimacko 401
Postad: 1 aug 2019
Laguna skrev:

l'Hôpitals regel då?

Den används inte alls i kursen.

Laguna Online 5394
Postad: 1 aug 2019
Micimacko skrev:
Laguna skrev:

l'Hôpitals regel då?

Den används inte alls i kursen.

Vad är det för kurs?

Micimacko 401
Postad: 1 aug 2019

Tata41. Står förklarat på kurshemsidan varför den inte används, men inte tagit mig tid att tyda förklaringen.

Tata41

Enligt Google är det envariabelanalys på LiU.

Micimacko 401
Postad: 1 aug 2019
Smaragdalena skrev:

Tata41

Enligt Google är det envariabelanalys på LiU.

Ja en av dem. Finns flera med samma namn men lite olika innehåll :)

Ebola 487
Postad: 1 aug 2019
Micimacko skrev:

Tata41. Står förklarat på kurshemsidan varför den inte används, men inte tagit mig tid att tyda förklaringen.

Hans Lundmark m. fl. anser att man inte ska använda l'Hospitals regel i TATA41/TATA42 utan att kunna härleda dess begränsningar och villkor tydligt under tentan (vilket någon aldrig gjort). Om du tar det gränsvärdet som är mest relevant för din uppgift:

limx0sinxx

Om du använder l'Hospitals regel för att lösa denna är det ett form av cirkelresonemang. Detta därför att du antar att du redan vet derivatan av sinus-funktionen men om vi tittar närmre på derivatans definition av den har vi:

limh0sin(x+h)-sin(x)h=limh0sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)h==cos(x)limh0sin(h)h

Gränsvärdet du försöker lösa med l'Hospitals regel dyker upp i härledningen av derivatan. För referens kan läsas mer här:

Undervisnings-FAQ

parveln Online 255
Postad: 2 aug 2019
Ebola skrev:
Micimacko skrev:

Tata41. Står förklarat på kurshemsidan varför den inte används, men inte tagit mig tid att tyda förklaringen.

Hans Lundmark m. fl. anser att man inte ska använda l'Hospitals regel i TATA41/TATA42 utan att kunna härleda dess begränsningar och villkor tydligt under tentan (vilket någon aldrig gjort). Om du tar det gränsvärdet som är mest relevant för din uppgift:

limx0sinxx

Om du använder l'Hospitals regel för att lösa denna är det ett form av cirkelresonemang. Detta därför att du antar att du redan vet derivatan av sinus-funktionen men om vi tittar närmre på derivatans definition av den har vi:

limh0sin(x+h)-sin(x)h=limh0sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)h==cos(x)limh0sin(h)h

Gränsvärdet du försöker lösa med l'Hospitals regel dyker upp i härledningen av derivatan. För referens kan läsas mer här:

Undervisnings-FAQ

Däremot kan l'Hospital vara ett bra sätt att kolla att man fått rätt svar, när man väl har ett svar.

AlvinB 3181
Postad: 2 aug 2019 Redigerad: 2 aug 2019

Jag tycker dock det är värt att nämna att l'Hôpitals regel inte alltid ger upphov till cirkelresonemang.

Exempelvis kan gränsvärdet:

limx0+xln(x)\lim_{x\to0^+}\dfrac{x}{\ln(x)}

utan problem beräknas med hjälp av l'Hôpitals regel då gränsvärdet inte är nödvändigt för att bevisa derivatan av varken ln(x)\ln(x) eller xx.

Bevis för derivatan av f(x)=x

Låt f(x)=xf(x)=x. Derivatans definition ger:

f'x=limh0f(x+h)-f(x)h=limh0x+h-xh=limh0hh=limh01=1f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{x+h-x}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{h}{h}=\lim_{h\to0}1=1

V.S.B.

Bevis för derivatan av f(x)=ln(x)

Låt f(x)=ln(x)f(x)=\ln(x). Derivatans definition ger då:

f'x=limh0f(x+h)-f(x)h=limh0ln(x+h)-ln(x)h=limh0ln(x+hx)h=limh0ln(1+hx)h=f'\left(x\right)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h}=

Görs nu substitutionen h=x(et-1)h=x(e^t-1) så att t=ln(1+h/x)t=\ln(1+h/x) syns att t0t\to0h0h\to0, vilket ger:

=limt0ln(1+xet-1x)x(et-1)=limt0ln(1+et-1)x(et-1)=1x·limt0ln(et)et-1=1x·limt0tet-1==\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+\frac{\cancel{x}\left(e^t-1\right)}{\cancel{x}})}{x(e^t-1)}=\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+e^t-1)}{x(e^t-1)}=\dfrac{1}{x}\cdot\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(e^t)}{e^t-1}=\dfrac{1}{x}\cdot\lim_{t\to0}\dfrac{t}{e^t-1}=

=1x·limt0(et-1t)-1=1x(limt0et-1t)-1=\dfrac{1}{x}\cdot\lim_{t\to0}(\dfrac{e^t-1}{t})^{-1}=\dfrac{1}{x}(\lim_{t\to0}\dfrac{e^t-1}{t})^{-1}

Om man utgår från att exe^x definieras som funktionen som har sig själv som derivata följer det ur derivatans definition att:

limt0et-1t=1\lim_{t\to0}\dfrac{e^t-1}{t}=1

vilket ger:

f'x=1x·1-1=1xf'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}\cdot 1^{-1}=\dfrac{1}{x}

V.S.B.

Dr. G Online 4465
Postad: 2 aug 2019
AlvinB skrev:

Exempelvis kan gränsvärdet:

limx0+xln(x)\lim_{x\to0^+}\dfrac{x}{\ln(x)}

utan problem beräknas med hjälp av l'Hôpitals regel ...

Fast där går ju täljaren mot 0 och nämnaren mot -∞, så l'Hospital behövs inte. Jag undrar ens om den kan användas. (Att svaret blir rätt är en annan femma.)

AlvinB 3181
Postad: 2 aug 2019 Redigerad: 2 aug 2019
Dr. G skrev:
AlvinB skrev:

Exempelvis kan gränsvärdet:

limx0+xln(x)\lim_{x\to0^+}\dfrac{x}{\ln(x)}

utan problem beräknas med hjälp av l'Hôpitals regel ...

Fast där går ju täljaren mot 0 och nämnaren mot -∞, så l'Hospital behövs inte. Jag undrar ens om den kan användas. (Att svaret blir rätt är en annan femma.)

l'Hôpitals regel verkar finnas i femtioelva olika varianter, men enligt formuleringen på Wikipedia räcker det med att endast nämnaren går mot \infty eller --\infty för att få tillämpa l'Hôpitals regel.

Du har dock rätt i att exemplet kanske inte demonstrerar min poäng särskilt väl eftersom det är ganska uppenbart att gränsvärdet är 00. Kanske skulle jag istället valt gränsvärdet:

limx1x-1ln(x)\lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}

Svara Avbryt
Close