Gränsvärde där x går mot 2

Hej!

Om du förlänger kvoten på lämpligt sätt kanske du kan använda ett standardgränsvärde.

   $\frac{\sin x}{x(x-2)} = \frac{\sin x}{\sin (x-2)} \cdot \frac{\sin(x-2)}{x-2} \cdot \frac{1}{x}\ .$

En additionsformel för sinusfunktionen låter dig skriva

    $\frac{\sin x}{\sin (x-2)} = \frac{\sin x}{\sin x \cos 2 - \cos x \sin 2} = \frac{1}{\cos 2 - \frac{\sin 2}{\tan x}}\ .$

• När $x$ närmar sig $2$ från höger kommer denna kvot att vara positiv och divergera.
• När $x$ närmar sig $2$ från vänster kommer detta kvot att vara negativ och divergera.

Albiki

det är enkelt att bara ersätta 2^+ i kvoten och sen beräkna allt: 

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle \sin x}}{{\displaystyle x(x-2)}}=\frac{{\displaystyle \sin 2}}{2(2^{+}-2)}=\frac{\sin {\displaystyle }{\displaystyle 2}}{2\times 0^{+}}=\frac{\sin {\displaystyle 2}}{0^{+}}=\frac{0,9}{0^{+}}=+\infty$

alireza6231 skrev :

det är enkelt att bara ersätta 2^+ i kvoten och sen beräkna allt: 

Hej!

Problemet med ditt förslag är att nämnaren blir ett mycket litet positivt tal. Vad händer om man dividerar med ett pytte-pyttelitet positivt tal?

Albiki

alireza6231 skrev :

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle \sin x}}{{\displaystyle x(x-2)}}=\frac{{\displaystyle \sin 2}}{2(2^{+}-2)}=\frac{\sin {\displaystyle }{\displaystyle 2}}{2\times 0^{+}}=\frac{\sin {\displaystyle 2}}{0^{+}}=\frac{0,9}{0^{+}}=+\infty$

Hej!

Det där är bara galet!

Division med $0^+$ (vad nu det är för slags tal) är inte tillåtet. Dessutom är $+\infty$ inte något tal, så det går inte att skriva att (den odefinierade) kvoten är lika med $+\infty.$

Albiki