Gränsvärde i flera variabler - hitta "vägen"

Man kan väl inte bara välja vilken envariabelfunktion som helst som har ett funktionsvärde i (0,0)?

Jo, i princip. Fast ibland är det vissa funktioner som är smartare än andra.

Hur lär man sig då att välja rätt funktion? Erfarenhet, Och hur skaffar man sig erfarenhet? Genom att göra fel.

Jaha, okej! Då var det väl därför det inte framkom tydligt för mig, eftersom det helt enkelt inte finns nån riktig "regel" så som jag tyckte att det borde finnas. Typiskt. Tack, jag får bara börja försöka lösa uppgifter helt enkelt!

Jag vågar inte säga att det inte finns någon smart regel om vad det kan vara vettigt att testa först, men om jag har lärt mig någon så har jag glömt den...

Om man hittar två vägar som ger olika resultat så har man visat att gränsvärdet inte finns, och de två enklaste är väl y = kx och y = kx². En annan gång kanske det är klokt att generalisera till y = kx^a. Här ser man att nämnaren blir enklare om y = kx². (Gör man? Ja, det tycker jag, men där kommer förstås lite erfarenhet in.)

Om gränsvärdet faktiskt finns så kan man ju inte gärna prova alla vägar, utan får hitta ett sätt att visa att alla vägar ger samma svar.

Tack! Jag blir ändå osäker på hur man ska göra, så vi kan titta på en uppgift jag ska lösa.

Beräkna detta gränsvärde eller bevisa att det inte finns: $\underset{(x,y)\to (1,2)}{\lim }\frac{e^{x^2+y^2-5}-1}{x^2+y^2-5}$

Spontant tänker jag att man kan ta vägen via y = 2x då (1,2) är en punkt som finns i den kurvan. Men det ger då $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{e^{5x^2-5}-1}{5x^2-5}$ och det gränsvärdet finns ju inte heller. Vad betyder det? Betyder det att gränsvärdet inte finns, eller att jag valde fel och måste testa en annan väg? Hur ska isåfall denna väg väljas? y = kx känns inte lämpligt då vi inte kan veta om (1,2) finns med, det beror ju på k.

Nej, vänta ... Jag minns att föreläsaren sa att man först måste ha en gissning på vad gränsvärdet kan vara. Så då ska vi i detta fall hitta en funktion där det gäller att f(1,2) = förmodat gränsvärde.

Jag skulle börja med att ta reda på vad som händer om man sätter x²+y²-5 = t. Jag har inte undersökt om det verkligen ger något användbart resultat, men det känns som ett bra första steg. Nästa steg kunde vara att sätta x²+y²=r² och låta r² gå mot 0, d v s undersöka vad som händer om man låter avståndet gå mot 0 utan att ta hänsyn till från vilket håll man kommer.

Tack! Nu såg jag iofs i lösningsförslaget att läraren hade tipsat om "använd standardgränsvärdet", alltså att

Då x motsvaras av x²+y²-5 i detta fall går det att applicera standardgränsvärdet här, så det verkar isåfall som att man inte behöver göra något mer än att visa detta.

Nu ska jag avgöra om $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^3+y^4}{x^2+y^2}$ existerar. Jag har tagit vägen via y = x och y = kx och fått gränsvärdet 0 för båda. Men hur många vägar behöver man ta i detta fall för att bevisa att gränsvärdet finns?

Ta polära koordinater. Låt r gå mot noll. Om värdet är oberoende av vinkeln så spelar vägen ingen roll.