Gränsvärde med arccos
limx→1- (arccos x) / sqrt(1 - x)
Jag sätter arccos x = t
limt→0 t / sqrt( 1 - cos t )
Sen är jag fast med ett 0/0-fall.
Har jag räknat rätt? Hur gör man sen? Jag vill inte använda l'Hopital.
Efter ditt variabelbyte: Testa Maclaurinutveckling i nämnaren.
Jag använde hospitals regel en gång och fick 2^0,5 som svar men jag vet inte om det är rätt
dr_lund skrev:Efter ditt variabelbyte: Testa Maclaurinutveckling i nämnaren.
Hej! Maclaurin kommer senare i boken så jag undrar om det finns nåt annat sätt att lösa det. :)
Eller så vill de att man ska uppfinna Maclaurin-hjulet själv här :D
Hej E. W.,
Definiera funktionen f(t)=√1-cost där t∈[0,1]. Notera att f(0)=0 så funktionens derivata f'(0) är relaterad till gränsvärdet du söker.
f'(0)=limt→0f(t)t
Hej,
Förläng med nämnarens konjugatuttryck för att få
t√1-cost=t√1+cost√sin2t=t|sint|·√1+cost
där Trigonometriska ettan och Konjugatregeln använts.
Använd sedan standardgränsvärdet limt→0sintt=1 och de faktum att absolutbelopp-funktionen är kontinueerlig i t=1 och cosinus-funktionen är kontinuerliga i t=0 för att få det sökta gränsvärdet.
limt→0t√1-cost=√2.
Det är viktigt att hålla reda på efter variabelbytet att t→0+, d.v.s. man närmar sig 0 från höger, närmar man sig från vänster, t→0-, så blir istället gränsvärdet lika med -√2, vilket innebär att gränsvärdet t→0 ej existerar.
Tänk på att du har ett ensidigt gränsvärde i frågan. Så t --> 0+. Annars får du problem med beloppet runt sin när t växlar tecken.