Processing math: 100%
8 svar
206 visningar
EulerWannabe 189
Postad: 21 aug 2020 19:13

Gränsvärde med arccos

limx1- (arccos x) / sqrt(1 - x)

Jag sätter arccos x = t

limt0 t / sqrt( 1 - cos t )

Sen är jag fast med ett 0/0-fall.

Har jag räknat rätt? Hur gör man sen? Jag vill inte använda l'Hopital.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 21 aug 2020 19:30

Efter ditt variabelbyte: Testa Maclaurinutveckling i nämnaren.

Axel72 547
Postad: 21 aug 2020 19:30

Jag använde hospitals regel en gång och fick 2^0,5 som svar men jag vet inte om det är rätt

EulerWannabe 189
Postad: 21 aug 2020 19:34
dr_lund skrev:

Efter ditt variabelbyte: Testa Maclaurinutveckling i nämnaren.

Hej! Maclaurin kommer senare i boken så jag undrar om det finns nåt annat sätt att lösa det. :)

Eller så vill de att man ska uppfinna Maclaurin-hjulet själv här :D

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 21 aug 2020 19:50 Redigerad: 21 aug 2020 19:51

Hej E. W.,

Definiera funktionen f(t)=1-cost där t[0,1]. Notera att f(0)=0 så funktionens derivata f'(0) är relaterad till gränsvärdet du söker.

    f'(0)=limt0f(t)t

tomast80 4257
Postad: 21 aug 2020 22:24 Redigerad: 21 aug 2020 22:24

https://math.stackexchange.com/questions/1588843/calculate-lim-x-to-1-frac-arccosx-sqrt1-x-without-using-lh%C3%B4p

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 21 aug 2020 22:26 Redigerad: 21 aug 2020 22:27

Hej,

Förläng med nämnarens konjugatuttryck för att få 

    t1-cost=t1+costsin2t=t|sint|·1+cost

där Trigonometriska ettan och Konjugatregeln använts.

Använd sedan standardgränsvärdet limt0sintt=1 och de faktum att absolutbelopp-funktionen är kontinueerlig i t=1 och cosinus-funktionen är kontinuerliga i t=0 för att få det sökta gränsvärdet.

    limt0t1-cost=2.

tomast80 4257
Postad: 22 aug 2020 08:00 Redigerad: 22 aug 2020 08:03

Det är viktigt att hålla reda på efter variabelbytet att t0+, d.v.s. man närmar sig 0 från höger, närmar man sig från vänster, t0-, så blir istället gränsvärdet lika med -2, vilket innebär att gränsvärdet t0 ej existerar.

Micimacko 4088
Postad: 22 aug 2020 08:02

Tänk på att du har ett ensidigt gränsvärde i frågan. Så t --> 0+. Annars får du problem med beloppet runt sin när t växlar tecken.

Svara
Close