Gränsvärde med arctan

$\dfrac{\pi}{2}$. Standardgränsvärde av Arctan(x) = pi/2 då x går mot oändlighet, x+1 och x växer ish lika snabbt så 1an i arctan(x+1) är oväsentlig då x är väldigt stort. faktoriserar ut arctanx och då fås arctanx*1 = arctanx och då x -> oändlighet fås pi/2.

(x+1)arctan(x+1)-xarctan(x) = arctan(x+1)+x(arctan(x+1)-arctan(x))

Enligt medelvärdessatsen har vi att arctan(x+1)-arctan(x) < $\frac{1}{1+x^2}$, så x(arctan(x+1)-arctan(x)) < 1/x och går således mot noll då x $\to$ $\infty$.

Kvar blir då termen arctan(x+1). Vi vet (känt gränsvärde) att arctan(x) går mot pi/2 då x går mot oändligheten, samt enligt ovan att arctan(x+1)-arctan(x) går mot noll då x går mot oändligheten. Eftersom arctan(x+1) = arctan(x+1)-arctan(x)+arctan(x) så går även arctan(x+1) mot pi/2 då x går mot oändligheten.

Vi börjar med integralen

$\displaystyle\int_x^{x+1}\arctan\left(t\right)\ dt=[t\arctan(t)-\frac{1}{2}\ln\left(1+t^2\right)]_x^{x+1}$

$=\left(x+1\right)\arctan\left(x+1\right)-\dfrac{1}{2}\ln\left(1+\left(x+1\right)^2\right)-x\arctan\left(x\right)+\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)$

$=\left(x+1\right)\arctan\left(x+1\right)-x\arctan\left(x\right)+\dfrac{1}{2}\ln(\dfrac{1+x^2}{1+(x+1)^2})$

Tar vi ett gränsvärde då $x\to\infty$ ser vi

$\lim_{x\to\infty}\left(x+1\right)\arctan\left(x+1\right)-x\arctan\left(x\right)+\dfrac{1}{2}\ln(\dfrac{1+x^2}{1+(x+1)^2})$

$=\lim_{x\to\infty}\left(x+1\right)\arctan\left(x+1\right)-x\arctan\left(x\right)+\dfrac{1}{2}\ln\left(1\right)$

$=\lim_{x\to\infty}\left(x+1\right)\arctan\left(x+1\right)-x\arctan\left(x\right)$

Vi har alltså att

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\int_x^{x+1}\arctan\left(t\right)\ dt=\lim_{x\to\infty}\left(x+1\right)\arctan\left(x+1\right)-x\arctan\left(x\right)$

Men vänsterledets gränsvärde kan också beräknas med medelvärdessatsen för integraler genom att skriva

$\displaystyle\int_x^{x+1}\arctan\left(t\right)\ dt=\arctan\left(\xi\right)\left(x+1-x\right)$

för något $\xi$ mellan $x$ och $x+1$. När $x\to\infty$ måste då också $\xi\to\infty$ och vi får

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\int_x^{x+1}\arctan\left(t\right)\ dt=\lim_{\xi\to\infty}\arctan\left(\xi\right)=\frac{\pi}{2}$

Detta visar att gränsvärdet vi söker är $\frac{\pi}{2}$.

$\frac{\pi}{2}$ enligt Lagranges medelvärdessats tillämpad på funktionen $f(x)=x\arctan x$ vars derivata är

    $\displaystyle\arctan x + \frac{x}{1+x^2}$,

som närmar sig $\frac{\pi}{2}$ då $x$ växer obehindrat.

$\displaystyle\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\ , \quad x>0.$

Det ger uttrycket

    $\displaystyle \left(x+1\right)\arctan x+1 - x\arctan x = \frac{\pi}{2} - \left(\arctan \frac{1}{1+x}-\arctan\frac{1}{x}\right)$

som med Maclaurinutveckling av $\arctan$-funktionen $\arctan y = y+o(y)$ ger uttrycket

$\displaystyle\frac{\pi}{2} - o\left(\frac{1}{x}\right)$

och det sökta gränsvärdet $\pi/2$.

Uttrycket skrivs

    $\displaystyle \underbrace{x\cdot\left(\arctan\left(x+1\right)-\arctan x\right)}_{\stackrel{?}{\to}0} + \underbrace{\arctan x+1}_{\to\frac{\pi}{2}}$.

Taylorutveckling av arctan-funktionen kring $\infty$ låter uttryckets första term skrivas

    $\displaystyle x \cdot \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\underbrace{x \cdot o(\frac{1}{x})}_{\to 0}$.

Uttrycket $(x+1)\arctan(x+1)-x\arctan x$ kan ses som arean av två rektanglar:

• En mycket smal rektangel vars bas är $x$ och höjd är $\arctan(x+1)-\arctan x$;
• En rektangel vars bas är $1$ och höjd $\arctan (x+1)$

När $x$ växer obehindrat bör den mycket smala rektangelns area bli allt mindre, medan den andra rektangelns höjd närmar sig $\pi/2$.

Det sökta gränsvärdet bör därför vara $\pi/2$.

Sätt $t=\frac{1}{x}$
Efter omskrivning med subraktionsformeln för arctan fås slutligen att gränsvärdet blir:
$\frac{\pi}{2}+\lim_{t\to 0^+}\frac{\arctan{\frac{t^2}{1+t+t^2}}}{t}=$
$\frac{\pi}{2}+\lim_{t\to 0^+}\frac{t^2+O(t^6)}{t}=\frac{\pi}{2}+0=$

$\frac{\pi}{2}$