Gränsvärde med e

Vad är uppgiften?

Nej det var ingen uppgift jag började bara tänka på detta :)

I detta konkreta gränsvärde kan man åberopa följande två satser för att motivera den utnyttjade successiva gränsvärdesövergången:

Sats 1: $\lim_{x\to\infty} (f(x)\cdot g(x)) = (\lim_{x\to\infty} f(x))\cdot (\lim_{x\to\infty} g(x))$,

förutsatt att uttrycket i HL är väldefinierat (t.ex. går $0\cdot \infty$ inte bra)

Sats 2: $\lim_{x\to\infty} u(v(x)) = \lim_{t\to A} u( t )$,

förutsatt att $\lim_{x\to\infty} v(x) = A$ och att gränsvärdet  $\lim_{t\to A} u( t )$ existerar. Dessutom behöver man förutsätta antingen (a) att yttre funktionen $u$ är kontinuerlig i punkten $A$, eller (b) att inre funktionen $v(x)$ inte är lika med $A$ för stora värden på $x$.

Det återstår att skriva om det givna uttrycket på ett sätt så att dessa två satser kan utnyttjas:

$((1 + \frac1x)^x)^x = \exp( x \cdot \ln(1+\frac1x)^x ) = \exp(t)$,

där

$(1+\frac1x)^x \to e$, så $\ln(1+\frac1x)^x \to \ln e = 1$ enligt Sats 2

och

$t = x \cdot \ln(1+\frac1x)^x \to \infty \cdot 1= \infty$ enligt Sats 1

Ok jag fick för mig att satsen inte gällde då man involverar oändligheter men hade fel! 

(X+1/x)^x >= x^x—>oändl när x—>oändl