3 svar
185 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB 3847
Postad: 13 apr 2020 Redigerad: 13 apr 2020

Gränsvärde med (kanske) oväntat svar!

Hej!

Jag känner att det kan behövas en kluring här i forumet, så här kommer ett gränsvärde, vars svar kan förvåna (eller inte, beroende på hur van man är med sådana här problem).

Problemet är att bestämma följande gränsvärde exakt

limnn!·(1+1n)n2nn+1/2.\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!\cdot (1+\frac{1}{n})^{n^2}}{n^{n+1/2}}.

EDIT: +1/2+1/2 i nämnarens exponent hade fallit bort. Nu är det fixat.

Jroth 1138
Postad: 13 apr 2020
Visa spoiler

Gränsvärdet är 2πe\sqrt{\frac{2\pi}{e}}

Använd Stirlings formel samt visa att

limn(1+1n)n2en=limnen2ln(1+1n)-n=1e\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}{e^n}= \lim_{n\to \infty}e^{n^2\ln(1+\frac{1}{n})-n}=\frac{1}{\sqrt{e}}

T.ex. genom att serieutveckla ln(1+1n)\ln(1+\frac{1}{n}) för stora n 

Här är en variant på samma tema, också med ett lite oväntat resultat:

limn(n!)k(kn)!n\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{(n!)^k}{(kn)!}}

AlvinB 3847
Postad: 13 apr 2020
Jroth skrev:
Visa spoiler

Gränsvärdet är 2πe\sqrt{\frac{2\pi}{e}}

Använd Stirlings formel samt visa att

limn(1+1n)n2en=limnen2ln(1+1n)-n=1e\lim_{n\to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}{e^n}= \lim_{n\to \infty}e^{n^2\ln(1+\frac{1}{n})-n}=\frac{1}{\sqrt{e}}

T.ex. genom att serieutveckla ln(1+1n)\ln(1+\frac{1}{n}) för stora n 

Här är en variant på samma tema, också med ett lite oväntat resultat:

limn(n!)k(kn)!n\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{(n!)^k}{(kn)!}}

Just det. Stirlings formel är nyckeln till problemet. Det är därifrån 2π\sqrt{2\pi} kommer. Jag tyckte gränsvärdet var en smula underhållande, eftersom både π\pi och ee dyker upp, medan uttrycket inte uttryckligen innehåller någon av dem.

Ditt gränsvärde kan man lösa med i stort sett samma metod. Om jag nu inte gjort bort mig tycker jag att det borde bli k-kk^{-k}.

Ooo väldigt trevligt

Svara Avbryt
Close