Gränsvärde med ln

Hej,

Med logaritmlag skrivs kvoten

    $\frac{\ln 5x^2}{\ln 6x^3} = \frac{\ln 5 + 2\ln x}{\ln 6 + 3\ln x} = \frac{\ln 5}{\ln 6+3\ln x} + \frac{2\ln x}{\ln 6+3\ln x}.$

Då $x$ blir större och större blir den (positiva) första kvoten mindre och mindre. Den andra kvoten kan skrivas 

    $\frac{2\ln x}{\ln 6+3\ln x} = \frac{2}{3+\frac{\ln 6}{\ln x}}.$

Då $x$ blir större och större närmar sig nämnaren talet $3$, varför den andra kvoten som helhet närmar sig talet $2/3.$ 

Resultat: $\lim_{x\to\infty} \frac{\ln 5x^2}{\ln 6x^3} = \frac{2}{3}.$

När man skriver $\ln 5x^2$ så menar man inte $\ln(5x)^2$, som är lika med $\ln(25\cdot x^2)$, eftersom potensen $x^2$ beräknas före produkten $5\cdot x^2$; vill du att produkten ska beräknas före potensen visar du detta med parenteser.

Tusen tack!