Gränsvärde mot en punkt på en diskontinuerlig funktion

Hej! Jag postade om denna integral för några månader sedan och diskuterade med min lärare om en alternativ lösning till den för några dagar sedan. 

$\displaystyle I= \int\limits_{-\infty}^\infty{\frac{\cos x}{x^2+1}dx}$

Jag löste den ursprunligen med komplex analys, men läste även om en annan metod för att beräkna den. Den går såhär:
Först kommer vi ihåg att $\displaystyle \int\limits_{0}^\infty{\frac{\sin(tx)}x dx} = \frac{\pi}2$ för alla $t > 0$

Definiera $f(\alpha)$$\displaystyle := \int\limits_{0}^\infty{\frac{\cos (\alpha x)}{x^2+1}dx}$
Då gäller det att $I=2f(1)$ eftersom integranden är jämn. 
Vi har att $f'(\alpha)$$\displaystyle = -\int\limits_{0}^\infty{\frac{x(\sin\alpha x)}{x^2+1}dx}$
Om vi kollar på insidan av $f'$ så skriver vi om den på detta sätt:  
$\displaystyle \frac{x\sin\alpha x}{x^2+1} = \frac{x^2\sin(\alpha x)+ \sin(\alpha x) - \sin(\alpha x)}{x(x^2+1)} = \frac{\sin(\alpha x)}x - \frac{\sin(\alpha x)}{x(x^2+1)}$
Alltså är $f'(\alpha)$$\displaystyle = -\int\limits_0^\infty{\frac{\sin(\alpha x)}x dx} +\int\limits_0^\infty{\frac{\sin(\alpha x)}{x(x^2+1)}dx} = -\frac{\pi}2 +\int\limits_0^\infty{\frac{\sin(\alpha x)}{x(x^2+1)}dx}$ för $\alpha > 0$
Då har vi slutligen att $f''(\alpha)$$\displaystyle = \int\limits_0^\infty{\frac{\cos(\alpha x)}{x^2+1}dx} =$$f(\alpha)$
Vi har alltså en differentialekvation, $f''(\alpha) - f(\alpha) = 0$. Den har lösningen
$f(\alpha) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$
Vi har också att $f'(\alpha) = c_1 e^x - c_2 e^{-x}$
$f(0)$$\displaystyle= \int\limits_0^\infty{\frac{1}{x^2+1}dx} =$
$f'(0)$$\displaystyle = -\frac{\pi}2 + \int\limits_0^\infty{\frac{\sin(0 \cdot x)}{x(x^2+1)}dx} = -\frac{\pi}2$
Detta ger ekvationssystemet 
$\displaystyle c_1 + c_2 = \frac \pi2$
$\displaystyle c_1 - c_2 = -\frac \pi2$
Med lösningen $\displaystyle c_1 = 0,c_2 = \frac \pi2$
Alltså är $\displaystyle f(\alpha) = \frac{\pi}{2e^\alpha}$
Då följer det att $I = \frac \pi e$ och vi är klara. 

Det jag undrar över är mest om beräkningen av $f'(0)$ är tillåten. Om vi exakt lägger in 0 i $f'$ får vi 0, inte $-\frac{\pi}2$. Funktionen verkar inte vara kontinuerlig vid $\alpha = 0$. Det stämmer att 
$\displaystyle  \lim_{\alpha \to 0^+}{\int\limits_{0}^\infty{\frac{x(\sin\alpha x)}{x^2+1}dx}} = \frac{\pi}2$. Men funktionen är definierad vid $0$ och $f'(0)=0$ om man direkt lägger in den i integralrepresentationen. Vidare, om man grafar $f(x)$ får man

Derivatan är uppenbart inte kontinuerlig i $\alpha = 0$. Varför verkar det ändå vara ok att använda detta värde?

Min uppfattning är eftersom värdet av $f$ vi vill ha ligger på domänet $\alpha > 0$ använder vi gränsvärdet från höger. Vill vi att ett värde på den vänstra sidan så borde vi använda gränsvärde från vänster (?). Denna uppfattning stämmer i alla fall om man vill exempelvis ha $f(-1)$. Eftersom integralen som representerar $f$ är jämn så gäller det att $f(-1)=f(1)$. Men om vi lägger in $f(-1)$ i den explicita formeln vi använde för att beräkna $f(1)$ får vi verkligen inte rätt svar. Däremot, om vi använder gränsvärdet för $f'(0)$ från den negativa sidan och beräknar ut koefficienterna därifrån så får vi rätt svar. 

Vad är det som händer här med det gränsvärdet. Också, när är det tillåtet att byta ut gränsvärdet av integral och derivata (vilket är vad vi egentligen gör när vi tar derivatan av $f$)? Har inte kunnat hitta info på det.