Gränsvärden

Det är i princip ett standardgränsvärde. Du kan prova att skriva om bråket som $(\frac{\sin{3x}}{5x})^{-1}$. :)

Sätt 3x = t så har du standardgränsvärdet.

Smaragdalena skrev:

Sätt 3x = t så har du standardgränsvärdet.

Nu är det ett tag sedan jag gick denna kursen (och andra personliga saker har inträffat) så jag är ringrostig. När du säger så tänker jag $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{t}{\sin \left(t\right)}$. Vad gör det för skillnad? Det kända gränssnittet är $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{x}=1$ vilket @Smutstvätt är inne på.

Om $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=a\ne 0$ så är $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{1}{a}$.

Jag tror att jag har löst det så som ni, @Smaragdalena, @Smutstvätt och @PATENTERAMERA menar.$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x}{\sin \left(3x\right)}=\left[\begin{array}{c}t=3x\Rightarrow x=\frac{t}{3}\\ x\to 0\Rightarrow t\to 0\end{array}\right]=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{5t}{3}}}{\sin \left(t\right)}=\frac{5}{3}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\sin \left(t\right)}=\frac{5}{3}\underset{t\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin \left(t\right)}{t}\right)}^{-1}=\frac{5}{3}·1^{-1}=\frac{5}{3}$

Kan man dock inte göra så här:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x}{\sin \left(3x\right)}=5\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin \left(3x\right)}=5\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}x}{{\displaystyle \frac{d}{dx}}\sin \left(3x\right)}=\underset{x\to 0}{5\lim }\frac{1}{3\cos \left(3x\right)}=5·\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

Varför jag använder mig utav L'Hôpitals regel är för att om man närmar sig 0 på x-faktorn så blir både täljaren och nämnaren 0 vilket är kravet för användning av regeln (rätta mig om jag har fel).

Både standardgränsvärden och L'Hospital kan användas. Det ser bra ut! :)

Tack alla för hjälpen! Jag har en fråga kvar dock. Som ni ser i #1 så står det i lösningen "$\left(\frac{0}{0}\right)$". Betyder det att de går direkt på L'Hôpitals regel i.o.m. att både täljaren och nämnaren är 0 eller varför skriver man ut det?

Nej, det ser inte ut som att man använder l'Hospital.

Varför skriver de ut "$\left(\frac{0}{0}\right)$" då? Till vilken nytta?

Plugghingsten skrev:

Jag tror att jag har löst det så som ni, @Smaragdalena, @Smutstvätt och @PATENTERAMERA menar.$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x}{\sin \left(3x\right)}=\left[\begin{array}{c}t=3x\Rightarrow x=\frac{t}{3}\\ x\to 0\Rightarrow t\to 0\end{array}\right]=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{5t}{3}}}{\sin \left(t\right)}=\frac{5}{3}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\sin \left(t\right)}=\frac{5}{3}\underset{t\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin \left(t\right)}{t}\right)}^{-1}=\frac{5}{3}·1^{-1}=\frac{5}{3}$

Kan man dock inte göra så här:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5x}{\sin \left(3x\right)}=5\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin \left(3x\right)}=5\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}x}{{\displaystyle \frac{d}{dx}}\sin \left(3x\right)}=\underset{x\to 0}{5\lim }\frac{1}{3\cos \left(3x\right)}=5·\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

Varför jag använder mig utav L'Hôpitals regel är för att om man närmar sig 0 på x-faktorn så blir både täljaren och nämnaren 0 vilket är kravet för användning av regeln (rätta mig om jag har fel).

@Smaragdalena: Efter att jag här ovan skrev "Kan man dock inte göra så här:" skrev jag en uträkning där L'Hôpitals regel används. I alla fall vad jag ser det som.

Du har visat att det går att lösa uppgiften med l'Hôpitals regel, det tyckte jag inte fanns någon anledning att kommentera mer. Jag kommenterade att man inte använde regeln i facit. Man konstaterar bara att det blir ett bråk av typen 0/0 och gör någonting åt problemet.