Gränsvärden sinx/x

1/x går väl inte mot 0? 

Det finns ett bra geometriskt bevis för det sökta gränsvärdet genom att titta på arenorna av trianglar och cirkelsektorer. 

Vad som händer med $\frac{1}{x}$ när x närmar sig noll? Kvoten närmar sig inte noll!

Tips. Försök hitta övertygande argument att för $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ gäller

1)$\frac{\sin x}{x}\le 1$ 

2) $\frac{x}{\tan x}\le 1$

Med det, bör du kunna konstruera olikheten $\frac{\sin x}{\tan x}\le \frac{\sin x}{x}\le 1$. Resten bör du kunna klara.

Använd Mac Laurins formel för att utveckla sinx och dividera sedan med x. Därefter kan du ta gränsvärdet.

Kan det vara så enkelt som att konstatera:

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sin \right(x\left)\right)=x$

mattekalle skrev :

Använd Mac Laurins formel för att utveckla sinx och dividera sedan med x. Därefter kan du ta gränsvärdet.

Fast maclaurinutvecklingen bygger på att man vet derivatan av sin x. För att beräkna denna så behövs det sökta gränsvärdet, så det blir ett cirkelresonemang. 

Hej!

Om $0\,<\,x\leq \pi/2$ så finns det en funktion ($f$) som är kontinuerlig i $x=0$ sådan att

    $\displaystyle \sin x = f(x)\cdot x$

och $f(0) = 1.$

Det följer omedelbart att

    $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0} f(x) = f(0) = 1.$

Albiki

Albiki, hur vet du a priori att f(0) = 0 medför att f är kontinuerlig vid x = 0?

EDIT: f(0) = 1 menar jag

Affe Jkpg skrev :

Kan det vara så enkelt som att konstatera:

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sin \right(x\left)\right)=x$

Inte riktigt. Gränsvärdet, som du skriver det är noll. Notera att x har kommit fram mot noll i samband med gränsvärdets beräkning

Dr. G skrev :

Albiki, hur vet du a priori att f(0) = 0 medför att f är kontinuerlig vid x = 0?

EDIT: f(0) = 1 menar jag

Hej!

Jag skrev att det finns en funktion (f) som är kontinuerlig i x=0 och f(0)=1. Jag skrev inte att kontinuiteten i x=0 medför att f(0) =1. 

Albiki

Hej igen!

Jag skrev inte att f(0) = 1 medför att funktionen f är kontinuerlig i x=0. 

Albiki

Hej!

Hur vet man á priori vilka egenskaper sinusfunktionen har? Det som á priori är känt för dig behöver inte vara känt á priori av mig.

Jag utgår från att påståendet om existensen av funktionen f (den så kallade premissen) är sant. Då följer det sökta gränsvärdet.

Frågan om premissen är sann eller inte är något som ska undersökas separat.

Albiki

pbadziag skrev :

Affe Jkpg skrev :

Kan det vara så enkelt som att konstatera:

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sin \right(x\left)\right)=x$

Inte riktigt. Gränsvärdet, som du skriver det är noll. Notera att x har kommit fram mot noll i samband med gränsvärdets beräkning

Jag trodde dom flesta skulle förstå poängen...utan att filosofera över om x är noll eller är på väg mot noll.
Blir det mer begripligt för flera så här?
$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sin \right(x\left)\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x\right)$

Det stämmer, men det tar inte Gulfi52 närmare till lösningen. Mitt förslag är att rita enhetscirkel med en relativt liten vinkel x samt sträckor som representerar sin(x) och tan(x) och ta det därifrån. Annars rekommenderar jag att kolla lösningen på t.ex. https://www.youtube.com/watch?v=o6S6RbfhRTU

pbadziag skrev :

Det stämmer, men det tar inte Gulfi52 närmare till lösningen. Mitt förslag är att rita enhetscirkel med en relativt liten vinkel x samt sträckor som representerar sin(x) och tan(x) och ta det därifrån. Annars rekommenderar jag att kolla lösningen på t.ex. https://www.youtube.com/watch?v=o6S6RbfhRTU

Jo ... det är precis vad Gulfi52 behöver för lösningen...$\frac{x}{x}=1$
$\sin \left(x\right)\approx x$ kallas även för småvinkelapproximationen

Här är ett snyggt geometriskt bevis: