5 svar
148 visningar
lund är nöjd med hjälpen
lund 529
Postad: 29 jan 2022 17:41 Redigerad: 29 jan 2022 17:44

Gränsvärdesdefinitionen

Jag ska med hjälp utav gränsvärdesdefinitionen visa att 1+x2x4\frac{1+x^2}{x^4} går mot noll då x går mot oändligheten. Och jag har börjat med att sätta in detta i gränsvärdesdefinitionen och får fram att

1+x2x4-0<ε\frac{1+x^2}{x^4}-0 < \varepsilon  (VL här är ska vara inom absolutbelopp tecken)

men sedan fastnar jag, hur ska man få x ensam på en sida av olikheten när den är av högre grad i nämnaren?

PATENTERAMERA 4932
Postad: 29 jan 2022 18:43

Det är kanske enklare att dela upp i två termer.

1+x2x4 = 1x4+1x2.

Och sedan visa att det går att hitta ett δ sådant att x > δ implicerar att

1x4<ϵ2 och 1x2<ϵ2.

PATENTERAMERA 4932
Postad: 29 jan 2022 19:41

Om det inte var tillåtet att dela upp i två termer så kan man göra som följer.

1+x2x4<ϵ 

1+x2<x4ϵ 

x4-x2ϵ-1ϵ>0 

x2-12ε2-14ε2-1ε>0 

x2-12ε>1+4ε2ε 

x2>1+1+4ϵ2ϵ eller x2<1-1+4ϵ2ϵ (där den senare olikheten är omöjlig att uppfylla eftersom HL< 0).

Således om vi väljer x > 1+1+4ε2ϵ1/2 så implicerar det att 1+x2x4<ϵ.

lund 529
Postad: 2 feb 2022 14:23 Redigerad: 2 feb 2022 14:35

Hej, tack för hjälpen! Jag har dock en fråga, varför sätter du absolutbelopp runt x2-12εx^2-\frac{1}{2\varepsilon}  mot slutet?

PATENTERAMERA 4932
Postad: 2 feb 2022 15:03

Om du har en olikhet av typen y2>a, där a är ett positivt tal, så är detta ekvivalent med olikheten y>a, vilket är ekvivalent med att y > a eller att y < -a.

lund 529
Postad: 2 feb 2022 15:04

Ja det är såklart, tack igen.

Svara Avbryt
Close