Gränsvärdet då x=1/2 och x=1? (Matematik/Universitet/Övrigt)

Integralen som du ska beräkna påminner om inversionsformeln ("Fundamental theorem of the Fourier Integral" i Beerends bok, eller Theorem 3.3 "Inverse Fourier Transform" i Pinkus–Zafranys bok), eller hur?

Vad säger inversionsformeln?

LuMa07 skrev:
Integralen som du ska beräkna påminner om inversionsformeln ("Fundamental theorem of the Fourier Integral" i Beerends bok, eller Theorem 3.3 "Inverse Fourier Transform" i Pinkus–Zafranys bok), eller hur?

Vad säger inversionsformeln?

På vilket sätt påminner det dig om inversformeln? Såhär står det om definitionen av inverstransformen:

Var god titta på Theorem 3.3

Tänk på att $\mathcal{F}[f](\omega)$ är det som betecknas med $F(\omega)$ i uppgiften.

LuMa07 skrev:
Var god titta på Theorem 3.3

Tänk på att $\mathcal{F}[f](\omega)$ är det som betecknas med $F(\omega)$ i uppgiften.

Vilken är Theorem 3.3? Ja jag vet att F[f](w)=F(w)

Du har lagt upp en skärmdump med sid 108 från Pinkus-Zafranys bok. Gå till sid 109 istället!

LuMa07 skrev:
Du har lagt upp en skärmdump med sid 108 från Pinkus-Zafranys bok. Gå till sid 109 istället!

Ja jag ser nu Theorem 3.3. Hur ska man använda sig av den där theorem?

Använd definitionen av f för att beräkna $\frac{f (\frac{1}{2} +) + f (\frac{1}{2} -)}{2}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Använd definitionen av f för att beräkna $\frac{f (\frac{1}{2} +) + f (\frac{1}{2} -)}{2}$ .

Hur använder jag detta? Vad betyder 1/2+ och 1/2-?

Kolla upp hur boken definierar f(x+) och f(x-). Misstänker att det är höger- och vänstergränsvärde eller liknande. Tillämpa definitionerna på f i problemet.

PATENTERAMERA skrev:
Kolla upp hur boken definierar f(x+) och f(x-). Misstänker att det är höger- och vänstergränsvärde eller liknande. Tillämpa definitionerna på f i problemet.

Ja precis det är höger och vänstergränsvärde de menar här. Men hur ska man tillämpa på f menar du?

Du får tex beräkna $f (\frac{1}{2} +) = \lim_{x \to \frac{1}{2} +} f (x)$ . Repetera höger- och vänstergränsvärden om du inte har det aktuellt.

Sedan får du tillämpa det på den funktion f som är given i problemet.

PATENTERAMERA skrev:
Du får tex beräkna $f (\frac{1}{2} +) = \lim_{x \to \frac{1}{2} +} f (x)$ . Repetera höger- och vänstergränsvärden om du inte har det aktuellt.

Sedan får du tillämpa det på den funktion f som är given i problemet.

Jag vet hur man beräknar gränsvärde från höger och vänster sida. Men i denna uppgift vet jag inte vilken funktion vi ska använda?

PATENTERAMERA skrev:

Men här har vi att x=1/2 är mellan -1 och 1. Då x>=1/2 så är det i intervallet 1/2<=x<=1

Ja du kan anta att det är i intervallet 1/2 < x <= 1. Eftersom vi bara är intresserade av vad som händer då vi närmar oss 1/2 mer och mer från positiva sidan.

PATENTERAMERA skrev:
Ja du kan anta att det är i intervallet 1/2 < x <= 1. Eftersom vi bara är intresserade av vad som händer då vi närmar oss 1/2 mer och mer från positiva sidan.

Ja precis båda fall blir det 1/2i och summan av dem blir då( i/2+i/2)/2=i/2

Ja. Sedan har du fallet x = 1. Samma procedur med höger- och vänstergränsvärden.

PATENTERAMERA skrev:
Ja. Sedan har du fallet x = 1. Samma procedur med höger- och vänstergränsvärden.

Ja precis. Gränsvärdet blir dp i/2 respektive 0. Hur ska man svara på det här med egenskaper hos f(x) så att man kan dra slutsats om detta?

Är det ett bra svar att skriva att f(x) är kontinuerlig i båda punkterna x=1/2 respektive x=1 enligt definitionen för invers transformeln?

f är inte kontinuerlig i x = 1. Vänstergränsvärde = -1 och högergränsvärde = 0.

Eftersom du använder satsen 3.3 så skall man säkert förklara varför satsens villkor är uppfyllda.

PATENTERAMERA skrev:
f är inte kontinuerlig i x = 1. Vänstergränsvärde = -1 och högergränsvärde = 0.

Eftersom du använder satsen 3.3 så skall man säkert förklara varför satsens villkor är uppfyllda.

Hur vet man att f inte är kontinuerlig i x=1? Jag tittade på f(x+)+f(x-)/2 och den blir 0. Men när vi tittar på f(x+) då x närmar sig 1 från positiv sida så får vi 1e^pi=cospi+isinpi=-1 . Men när x närmar sig 1 från minus sida så får jag samma svar som för f(+x)

f(x) = 0 om x > 1. Så f(1+) = 0.

f(1-) = $\lim_{x \to 1 -} f (x) = \lim_{x \to 1 -} x e^{i π x} = 1 \cdot e^{i π \cdot 1} = - 1 .$

PATENTERAMERA skrev:
f(x) = 0 om x > 1. Så f(1+) = 0.

f(1-) = $\lim_{x \to 1 -} f (x) = \lim_{x \to 1 -} x e^{i π x} = 1 \cdot e^{i π \cdot 1} = - 1 .$

Alltså AI säger att vänster och höger gränsvärde är lika för x=1 vilket jag håller med för så fick även jag. Summerar man ihop dem så får man -1. Se bild nedan

PATENTERAMERA skrev:

Men vår funktion ser inte ut på det sättet? Jag kan köpa att då x närmar sig 1 från positiv sida så är det då x>=1 och det är utanför vårt intervall dvs [1,inf) så den gränsvärde existerar inte eller vår f(x)=0 medan då x närmar sig 1 från negativ sida så är det då x<=1 vilket är mellan -1 och 1 intervallet och då är gränsvärde -1. Du kanske menar på det sättet. Högergränsvärde existerar inte men vänstergränsvärde existerar.

Båda gränsvärdena existerar. GPT använder samma funktion som i problemtexten och beräknar båda gränsvärdena. De blir dock olika.

PATENTERAMERA skrev:
Båda gränsvärdena existerar. GPT använder samma funktion som i problemtexten och beräknar båda gränsvärdena. De blir dock olika.

Men GPT har gjort om -1<=x<=1 til |x|>1 samt |x|<1 och det står inte på det sättet. Den ena kanske betyder -1<=x<=1 och den andra att x<1 eller x>-1

Nej, så står det inte. Läs igen.

PATENTERAMERA skrev:
Nej, så står det inte. Läs igen.

Nej jag skrev fel. Men det står i alla fall |x|<=1 vilket är samma sak som -1<=x<=1 och |x|>1 är samma sak som x>1 eller x<-1

Problemet kanske är att du fokuserar på $x=-1$ och $x=1$ samtidigt eller något?

Tänk dig att vi är vid punkten $x=1$ . På vänster sida om $x=1$ är funktionen $f(1-)=-1$ och på höger sidan om $x=1$ är funktionen $f(1+)=0$

D4NIEL skrev:
Problemet kanske är att du fokuserar på $x=-1$ och $x=1$ samtidigt eller något?

Tänk dig att vi är vid punkten $x=1$ . På vänster sida om $x=1$ är funktionen $f(1-)=-1$ och på höger sidan om $x=1$ är funktionen $f(1+)=0$

ja jag håller med. Om vi är på punkten x=1 så är vänster sida då x<=1 och höger sida då x>1 vilket stämmer överens med #25

Och runt punkten $x=1$ ska vi nu beräkna vilket värde Inverstransformen skulle ge, vilket enligt någon sats i er bok förmodligen är angiven ungefär som

$\frac{f(1+)+f(1-)}{2}$

Och nu har du ju $f(1+)$ och $f(1-)$

D4NIEL skrev:
Och runt punkten $x=1$ ska vi nu beräkna vilket värde Inverstransformen skulle ge, vilket enligt någon sats i er bok förmodligen är angiven ungefär som

$\frac{f(1+)+f(1-)}{2}$

Och nu har du ju $f(1+)$ och $f(1-)$

Ja precis.

Såhär säger facit