Gränsvärdet lim x-1 ((lnx)/((x^3)-x)

Om du utvecklar (t+1)³ - (t+1) en gång till.

Jag skulle skrivit om nämnaren som:

$x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1)$

Då $x$ är nära $1$ beter sig detta uttryck som:

$1\cdot 2\cdot (x-1)=2(x-1)$

Det innebär att gränsvärdet kan skrivas som:

$\frac{1}{2}\cdot \lim_{x\to 1}\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}=$

$\frac{1}{2}\cdot f'(1)$ där $f(x)=\ln x$

$f'(x)=\frac{1}{x}\Rightarrow f'(1)=1$

Gränsvärdet blir alltså:

$\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

jag är måttligt förtjust i resonemang där derivata används. Begreppet gränsvärde behandlas före derivatan. Jag föreslår vi låter bli derivata. Ditt variabelbyte verkar helt ok och du har hunnit en bit på väg. Lite omskrivning:

$\lim_{t\to 0} \left (\dfrac{\ln (t+1)}{t}\cdot \dfrac{1}{(t+1)(t+2)}\right)$

Kan du fortsätta på egen hand?

Laguna skrev:

Om du utvecklar (t+1)³ - (t+1) en gång till.

Dubbelkollade utvecklingen innan jag postade, men blev visst fel ändå. 

Nu fick jag ut rätt svar! tack

dr_lund skrev:

jag är måttligt förtjust i resonemang där derivata används. Begreppet gränsvärde behandlas före derivatan. Jag föreslår vi låter bli derivata. Ditt variabelbyte verkar helt ok och du har hunnit en bit på väg. Lite omskrivning:

$\lim_{t\to 0} \left (\dfrac{\ln (t+1)}{t}\cdot \dfrac{1}{(t+1)(t+2)}\right)$

Kan du fortsätta på egen hand?

Mig veterligen går man igenom derivatans definition i Matte 3, d.v.s. före Universitetet som var nivån för uppgiften ifråga. Källa: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/derivatans-h-definition

Jag ser snarare en styrka i att kunna lösa uppgiften på olika sätt än att vara låst till en viss lösningsmetod, i detta fall standardgränsvärden.