Gravitationsfältets komponenter i standardbas samt i den roterande basen (Matematik/Universitet/Flervariabelanalys)

Sätt in r = r₀e₁ i formeln.

PATENTERAMERA skrev:
Sätt in r = r₀e₁ i formeln.

Formeln för gravitationsfältet menar du?

Ja.

PATENTERAMERA skrev:
Ja.

Ok då kommer man få ut komponenterna av fältet. Men sen så söker vi komponenterna den roterade basen, hur ska man börja där? Vi känner ju till de primmade enhetsvektorerna.

Det enda du behöver göra är att uttrycka e₁ i den primmade basen.

PATENTERAMERA skrev:
Det enda du behöver göra är att uttrycka e₁ i den primmade basen.

Ok så e₁ och e₂ vet vi från fältets komponenter och stoppar bara in dem för att få ut tex e₁' ?

Du vet att $\vec{g} = - \frac{G M}{r_{0}^{2}} {\vec{e}}_{1}$ . Sedan behöver du bara uttrycka ${\vec{e}}_{1}$ med hjälp av de primmade basvektorerna.

Tips: beräkna ${\vec{e}}_{1}^{'} + {\vec{e}}_{2}^{'}$ .

Alternativt så vet du att ${\vec{e}}_{1} = \sum_{k = 1}^{3} ({\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{k}^{'}) {\vec{e}}_{k}^{'}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Du vet att $\vec{g} = - \frac{G M}{r_{0}^{2}} {\vec{e}}_{1}$ . Sedan behöver du bara uttrycka ${\vec{e}}_{1}$ med hjälp av de primmade basvektorerna.

Tips: beräkna ${\vec{e}}_{1}^{'} + {\vec{e}}_{2}^{'}$ .

Alternativt så vet du att ${\vec{e}}_{1} = \sum_{k = 1}^{3} ({\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{k}^{'}) {\vec{e}}_{k}^{'}$ .

var kommer den där summan ifrån?

Det är en känd formel för att utveckla en vektor i en given ON-bas. Jag tror du känner till den sedan tidigare.

PATENTERAMERA skrev:
Det är en känd formel för att utveckla en vektor i en given ON-bas. Jag tror du känner till den sedan tidigare.

Ska se om jag kan hitta den i lärarens kursens kompendium. Jag tror tyvärr inte att jag minns den.

PATENTERAMERA skrev:

Jag hittade detta nedan. Jag är bara förvirrad över vad som ska användas

Du behöver bara använda det jag skrev i #8.

PATENTERAMERA skrev:
Du behöver bara använda det jag skrev i #8.

Men det nämns också i #13. Vilken är det vi ska använda där?

Vad nämns i #13?

PATENTERAMERA skrev:
Vad nämns i #13?

a_i'^i=e_i*e_i'. Är det ej det vi ska använda för att hitta matrisen?

Du kan ju sätta upp matrisen direkt från #1.

$[\begin{matrix} {\vec{e}}_{1}' \\ {\vec{e}}_{2}' \\ {\vec{e}}_{3}' \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} \\ {\vec{e}}_{2} \\ {\vec{e}}_{3} \end{matrix}]$ . Inversen fås genom transponering.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan ju sätta upp matrisen direkt från #1.

$[\begin{matrix} {\vec{e}}_{1}' \\ {\vec{e}}_{2}' \\ {\vec{e}}_{3}' \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} \\ {\vec{e}}_{2} \\ {\vec{e}}_{3} \end{matrix}]$ . Inversen fås genom transponering.

Jag vill gärna göra som i boken nedan. Se bild

Ja, gör det. Hur blir det?

PATENTERAMERA skrev:
Ja, gör det. Hur blir det?

a_i'ⁱ=e_i*e_i' är väl matrisen vi söker?

Det beror på vad du vill räkna ut.

PATENTERAMERA skrev:
Det beror på vad vill räkna ut.

Jag vill räkna ut fältets komponenter uttryckt i den roterande basen. Om vi har den roterande basen matris a_i'ⁱ

Du vill då räkna ut $g^{α'} = a_{β}^{α'} g^{β}$ . Med Einsteins summakonvention. Hur tillämpar du formeln?

PATENTERAMERA skrev:
Du vill då räkna ut $g^{α'} = a_{β}^{α'} g^{β}$ . Med Einsteins summakonvention. Hur tillämpar du formeln?

Ingen aning. Men det är inte den vi ska använda då? Boken införde ju den av en anledning.

$g^{α'}$ är fältets komponenter i den roterade basen.

$g^{β}$ är fältets komponenter i ursprungsbasen.

I vårt fall så gäller att $g^{β} = - \frac{G M}{r_{0}^{2}} δ_{1}^{β}$ . Eller hur?

Fortsätt beräkningen.

PATENTERAMERA skrev:
$g^{α'}$ är fältets komponenter i den roterade basen.

$g^{β}$ är fältets komponenter i ursprungsbasen.

I vårt fall så gäller att $g^{β} = - \frac{G M}{r_{0}^{2}} δ_{1}^{β}$ . Eller hur?

Fortsätt beräkningen.

Hänger tyvärr inte med.

Kan man säga att pga eisteins summations konvention så gäller v=v1e1+v2e2+v3e3=v'1e1'+v'2e2'+v3'e_3'?

Det gäller alltid. En vektor är alltid den samma oavsett i vilken bas den utvecklas.

Tror du fick rätt svar till slut.

PATENTERAMERA skrev:
Det gäller alltid. En vektor är alltid den samma oavsett i vilken bas den utvecklas.

Tror du fick rätt svar till slut.

Hm okej. Oj jag nämnde inte einsteins summa konvention i min motivering, men jag kanske kan göra en side note om det så att det ej missas även om lösningarna är korrekta.