Gravitationslagen

Det är nog Keplers tredje lag som ska användas i uppgiften.

$\dfrac{T^2_{Uranus}}{r^3_{Uranus}}=\dfrac{T^2_{Jorden}}{r^3_{Jorden}}$

Jag kan inte riktigt se sammanhanget i det hela. 

vart kommer T²/r₀³ ifrån ? Motsvarar bråket det planetbanornas medelradie R?

Såg nyss att T²_jorden =  1 år =365 dagar tar det för jorden att komma tillbaka till samma position i cirkeln

r är planeternas medelradie och T för jorden måste vara 1 år.

Jag tappade bort mig mot slutet med SI enheterna och 3-roten ur

det ska bli 149,7 Gm

Det verkar stämma. När du drar tredjegradsroten ur km³ får du svaret i km.

Jag är lite oviss om varför formeln

T²/r₀³ (Uranus) = T²/r₀³ (jorden) tillämpas.

Det ska vara $r_{Jorden}$ eftersom $\sqrt[3]{r^3} = r$

Formeln är Keplers tredje lag.

Från den gamla Pluggakuten:

Anta att planeten roterar runt sin stjärna i en cirkulär bana.

Centripetalkraften ges då av uttrycket $F=\frac{mv^2}{r}$.

Dragningskraften ges av uttrycket $F=G\frac{mM}{r^2}$, där $M$ stjärnans massa och $m$ planetens masssa.

Dessa båda uttryck måste vara lika med varandra, då de beskriver samma kraft.

$F=\frac{mv^2}{r}=G\frac{mM}{r^2}\Leftrightarrow v^2=G\frac{M}{r}$.

För en cirkulär bana vet vi att

$v=\frac{2 \pi r}{T}$, där $T$ är omloppstiden.

Detta innebär att $v^2=\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}$ och att $\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}= G\frac{M}{r}$ och

$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}$

Eftersom $\frac{4\pi^2}{GM}$ är ett konstant värde, måste även $\frac{T^2}{r^3}$ vara konstant.

Keplers tredje lag är därmed härledd.