6 svar
144 visningar
mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 08:21

Greens bevis

Jag vet ju att satsen är såhär.


Men jag hittar ingenting som bevisar det. Och  vad är ens grejen med att bevisa den på den formeln?  Jag vet att man kan tänka Greens som en 'massa' parallella linjer (vertikalt eller horisontellt)

Alla tips mottages. 

AlvinB 4014
Postad: 20 dec 2018 15:58 Redigerad: 20 dec 2018 15:59

Ett område på formen E={(x,y):φ(x)yψ(x),axb}E=\{(x,y):\varphi(x)\leq y\leq\psi(x),a\leq x\leq b\} ser ju ut ungefär så här:

Notera att området till höger och vänster avgränsas av vertikala linjestycken. För detta område kan vi nämligen visa:

EPdx=E-Py dxdy\displaystyle\int_{\partial E}Pdx=\iint_{E}-\frac{\partial P}{\partial y}\ dxdy (vilket är halva greens formel).

Detta gör vi genom att börja med integralen i högerled:

E-Py dxdy=ab(φ(x)ψ(x)-Py dy)dx=\displaystyle\iint_{E}-\frac{\partial P}{\partial y}\ dxdy=\int_a^b(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}-\frac{\partial P}{\partial y}\ dy)dx=

=ab[-Px,y]φ(x)ψ(x) dx=abPx,φx dx-abPx,ψx dx=\displaystyle=\int_a^b[-P\left(x,y\right)]_{\varphi(x)}^{\psi(x)}\ dx=\int_a^bP\left(x,\varphi\left(x\right)\right)\ dx-\int_a^bP\left(x,\psi\left(x\right)\right)\ dx=

Eftersom (x,φ(x))(x,\varphi(x)) är en parametrisering av den nedre kurvan och (x,ψ(x))(x,\psi(x)) är en parametrisering av den övre kurvan (fast åt fel håll, vilket gör att minustecknet framför integralen "absorberas") samt att integralerna av de vertikala linjestyckena tar ut varandra då de går i motsatt riktning blir detta kurvintegralen av PdxPdx längs EEs rand:

=EPdx\displaystyle=\int_{\partial E}Pdx

Om vi gör samma sak fast med raka linjer i y-led kan vi för ett sådant område FF härleda:

FQdy=FQx dxdy\displaystyle\int_{\partial F}Qdy=\iint_{F}\dfrac{\partial Q}{\partial x}\ dxdy

Dessa två resultat kan tillsammans ge Greens formel för ett mer allmänt område. Kan du se hur?

En ledtråd är att dela upp det allmänna området i EE- och FF-områden.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 20 dec 2018 16:56

För att förtydliga kan det vara lämpligt att skriva vad som är xx och vad som är yy i dubbelintegralen.

    x=aby=ϕ(x)ψ(x)-Py(x,y)dydx=x=ab[-P(x,y)]y=ϕ(x)ψ(x)dx=-γψPdx+γϕPdx\displaystyle\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=\phi(x)}^{\psi(x)} -\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\,dy\right)\,dx = \int_{x=a}^{b}[-P(x,y)]_{y=\phi(x)}^{\psi(x)}\,dx = \int_{-\gamma_{\psi}}P\,dx + \int_{\gamma_{\phi}}P\,dx

där γϕ\gamma_{\phi} betecknar grafen till funktionen ϕ:[a,b]\phi:[a,b]\to\mathbb{R} och γψ\gamma_{\psi} grafen till funktionen ψ:[a,b]\psi: [a,b]\to\mathbb{R}.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 20 dec 2018 17:53 Redigerad: 20 dec 2018 17:57

Men jag hittar ingenting som bevisar det.

Då har du inte letat på det mest uppenbara stället (när inte svenska räcker till)

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 26 dec 2018 14:52
AlvinB skrev:

 

Dessa två resultat kan tillsammans ge Greens formel för ett mer allmänt område. Kan du se hur?

En ledtråd är att dela upp det allmänna området i EE- och FF-områden.

 Ehm. näee.

AlvinB 4014
Postad: 27 dec 2018 08:21 Redigerad: 27 dec 2018 08:22

Säg att vi tar ett mer allmänt område DD:

Om vi nu delar upp detta område i flera områden begränsade av vertikala linjestycken till höger och vänster:

Ser du då att vart och ett av dessa nya mindre område är EE-områden av typen från mitt förra inlägg? Det vi bevisade då tillsammans med att vi vet att integralerna av de vertikala linjestyckena tar ut varandra (eller blir noll i fallet av linjestyckena längst till höger och vänster) bevisar då halva greens formel:

DPdx=E1Pdx+...+E4Pdx=E1-Py dxdy+...+E4-Py dxdy=\displaystyle\int_{\partial D}Pdx=\int_{\partial E_1}Pdx+...+\int_{\partial E_4}Pdx=\iint_{E_1}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy+...+\iint_{E_4}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy=

=D-Py dxdy=\displaystyle\iint_D-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy

Om du nu gör horisontella linjer och använder motsvarande resultat från FF-områdena istället kan du bevisa den andra halvan.

mrlill_ludde 1047 – Fd. Medlem
Postad: 27 dec 2018 09:03 Redigerad: 27 dec 2018 10:10
AlvinB skrev:

Säg att vi tar ett mer allmänt område DD:

Om vi nu delar upp detta område i flera områden begränsade av vertikala linjestycken till höger och vänster:

Ser du då att vart och ett av dessa nya mindre område är EE-områden av typen från mitt förra inlägg? Det vi bevisade då tillsammans med att vi vet att integralerna av de vertikala linjestyckena tar ut varandra (eller blir noll i fallet av linjestyckena längst till höger och vänster) bevisar då halva greens formel:

DPdx=E1Pdx+...+E4Pdx=E1-Py dxdy+...+E4-Py dxdy=\displaystyle\int_{\partial D}Pdx=\int_{\partial E_1}Pdx+...+\int_{\partial E_4}Pdx=\iint_{E_1}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy+...+\iint_{E_4}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy=

=D-Py dxdy=\displaystyle\iint_D-\dfrac{\partial P}{\partial y}\ dxdy

Om du nu gör horisontella linjer och använder motsvarande resultat från FF-områdena istället kan du bevisa den andra halvan.

 Aaaah :D Tackar.

 

Återkommer om jag stöter på några frågor när jag ska skriva ned detta =)

Svara
Close