33 svar
543 visningar
K.Ivanovitj 399
Postad: 21 maj 2018 17:20

Greens formel

Hej

jag har en uppgift som jag har kommit en bit påväg med men skulle behöva lite hjälp.

Låt Fx,y=x2y,-xy2 och beräkna F*dr där γ är den medurs orienterade randen till området 0y9-x2

Jag började med att sätta 0y9-x20y29-x2 sedan adderade jag x2 i samtliga led och får x2y2+x29

Eftersom y2+x2x2 måste väl y vara positivt och vi får att integrationsområdet är i den första och andra kvadranten.

Jag får då integrationsområdet 

Sedan vill jag gå över till polära koordinater och utnyttja att x2+y2=r2 så att vi får x2r29 xr3

Sedan har vi att yF*dr=yrot F*n^ds

där rot F=×F=ijxyPQ=Qx-Py=-1*y2-1*x2=-y2-x2 

När man sedan ska tillämpa Greens formel ska man väl sätta DPx,ydx+Qx,ydy=DQx'-P'ydxdy vilket i detta fall ger -x2+y2

Därmed ska vi väl integrera dubbelintegralen D-x2+y2dydx 

ska vi sätta 03-33-x2+y2dxdy

men jag är inte helt säker på att jag har gjort rätt.

Moffen 1437
Postad: 21 maj 2018 17:56

Jag har inte helt kollat igenom vad du arbetat fram, men glöm inte bort att motsatt orientering ger ett minustecken på dubbelintegralen, samt att för att ens få använda Greens formel måste området vara slutet. Just nu är det öppet, du får se till att stänga det (dvs lägg till -3<=x<=3).

K.Ivanovitj 399
Postad: 21 maj 2018 19:45

jag får då att vi har DPdx-Qdy=DQx-Pydxdy och med Qx'=-y och Py'=x2 får vi -D-y2-x2=Dy2+x2dxdy 

men jag är lite osäker på hur man gör när man stänger området, hur ska integralerna bli ? ska vi ha x=-33y=03y2+x2dxdy

Moffen 1437
Postad: 21 maj 2018 20:24

När du stänger området får du en till KURVINTEGRAL, som går mellan -3 och 3 i x-led och är konstant 0 i y-led.

K.Ivanovitj 399
Postad: 21 maj 2018 20:34

men får vi inte det om vi har x=-33 som i exemplet ovan?

eller när ska man använda sig av kurvintegralen? jag är inte riktigt med på hur vi sluter denna integral. 

Moffen 1437
Postad: 21 maj 2018 20:39

Du kan använda definitionen av kurvintegralen, du vet, vektorfältet skalärt med de komponentvisa derivatorna av parametriseringen av kurvan. Det blir alltså en extra integral du ska beräkna. Det du tänkte beräkna är hela "cirkelskivan" mha Green, men då måste du subtrahera denna nya kurvintegral som du stänger ytan med. Jag är tyvärr inte så bra på att förklara, men hänger du med? Du kan dela upp kurvan.

K.Ivanovitj 399
Postad: 21 maj 2018 21:02

kan man då först räkna ut hela cirkelskivan först och gå över till polära koordinater så att vi får x2+y2=r2 och integralen 0π03r2rdrdθ= 0π03r3drdθ  och sedan dra ifrån -33r3dr 

Moffen 1437
Postad: 21 maj 2018 21:07

Nu kan jag ha missat nåt (jag har inte dubbelkollat dina integraler, bara uppställning) men är verkligen -33r3dr kurvintegralen? Har du parametriserat kurvan, deriverat parametriseringen och tagit skalärt med vektorfältet i parametriseringen?

K.Ivanovitj 399
Postad: 22 maj 2018 11:08

det jag tänkte var om det går att först räkna ut integralen för hela cirkelskivan som jag fick till 0π03r3drdθ=81π4 och sedan dra ifrån -33r2rdr 

jag är inte helt säker på hur vi får ut rätt kurvintegral så det är möjligt att det inte fungerar som jag tänkt.

Moffen 1437
Postad: 22 maj 2018 18:04

Okej, så det du vill göra är följande:

c F·dr=D (Qx-Py)dA -φ F·drDär c är den slutna kurvan som är randen till området D och φ är kurvan x[-3,3]. 

Jag visste inte hur man gjorde "nersänkt" så du får leva med att c, D och phi står lite framför integralerna. Frågan är då, har du koll på hur man beräknar den sista kurvintegralen (över kurvan phi)?

AlvinB 3951
Postad: 22 maj 2018 18:15
Moffen skrev:

Jag visste inte hur man gjorde "nersänkt" så du får leva med att c, D och phi står lite framför integralerna.

 Nedanför exponentverktyget finns en symbol som du kan använda för att göra "nedsänkt" :-)

Moffen 1437
Postad: 22 maj 2018 18:23
AlvinB skrev:
Moffen skrev:

Jag visste inte hur man gjorde "nersänkt" så du får leva med att c, D och phi står lite framför integralerna.

 Nedanför exponentverktyget finns en symbol som du kan använda för att göra "nedsänkt" :-)

 Aha, måste missat den ,tack! :)

K.Ivanovitj 399
Postad: 22 maj 2018 19:35

okej så om jag läste rätt då med c,D och phi så får vi

CF*dr=DQx-PydA-φF*dr

där alltså φ är kurvintegralen vi behöver för att stänga in området genom x-3,3

gäller det inte att F*dr=xyPQ=Qy-Px=-2yx-2xy

Moffen 1437
Postad: 22 maj 2018 20:05 Redigerad: 22 maj 2018 20:07

Jag skrev nåt långt men valde att radera det, det var för förvirrande. Poängen är att din determinant kommer ifrån det blå, och det verkar som att du chansar(?) på definitionen på kurvintegralen. Kurvintegralen är definierad som: F·dr=F(r(t))·drdtdr, där r(t) är en parametrisering av x och y. Kommer du vidare härifrån? Notera att jag inte heller vet hur man gör pilar över bokstäver, men det ska alltså vara: skalärt, vektorfält och dr med pil ovanför r. Hoppas det är förståeligt annars försöker jag visa mer vad jag menar.

 

EDIT: Ursäkta hur dåligt det är formaterat. Det skall alltså vara:drdt

K.Ivanovitj 399
Postad: 22 maj 2018 20:20

men jag trodde att det jag räknade ut i mitt inlägg var parametriseringen, vad är våra värden på r och t annars,? ska man inte sätta r=x2y och t=-xy2 

Moffen 1437
Postad: 22 maj 2018 20:31

Jaha ursäkta, förstod inte vad du menade. Om jag var du skulle jag iallafall parametrisera kurvan phi med t=x, t från -3 till 3 och y=0. Ser du varför/hur?

K.Ivanovitj 399
Postad: 22 maj 2018 20:49

jag kan inte påstå att jag är helt med men menar du att man ska sätta φ=-33y=00tdt 

Moffen 1437
Postad: 22 maj 2018 21:02

Det är ingen dubbelintegral, den sista kurvintegralen (över phi) är en enkel-integral, du ska inte använda greens formel eller nåt sånt, gå rakt utifrån definitionen!

K.Ivanovitj 399
Postad: 22 maj 2018 21:17

men tar vi bara integralen -33tdt får vi ju t223-3=92-92=0 

Moffen 1437
Postad: 22 maj 2018 21:34

Är det integralen du får om du i vektorfältet använder parametriseringen, och tar det skalärt med derivatan av parametriseringen? (nej det tror jag inte).

K.Ivanovitj 399
Postad: 23 maj 2018 17:30

nej jag är inte riktigt med på hur man ska göra här, vårat vektorfält är väl x2y,-xy2 och är det inte parametriseringen vi gör när vi tar F*dr=xPyQ=Qy-Px

Moffen 1437
Postad: 23 maj 2018 18:14

Jag vet tyvärr inte vad du försöker göra nu. Du ska INTE använda Greens sats på kurvintegralen över phi, den beräknar du direkt från definitionen. 

-33(t2*0,-t*02) · (1,0) dt=-330 dt=0

Någon får jättegärna rätta mig om jag har fel (läser denna kurs just nu), men jag tror att detta borde vara rätt. Ser du hur jag gjorde? Jämför med definitionen.

Guggle 1364
Postad: 23 maj 2018 19:44 Redigerad: 23 maj 2018 19:52

Nu råkar F vara 0 utmed hela x-axeln (y=0 där) så för svaret spelar det ingen roll hur många linjeintegraler längs den man drar bort eller lägger till.

Men när man pratar om randen till ett område menar man vanligtvis områdets hela rand om inget annat sägs. I frågan efterfrågas linjeintegralen till randen genomlöpt medurs, dvs linjeintegralen utmed den negativt orienterade randen till området 0y9-x20\leq y\leq \sqrt{9-x^2}. Området ser ut så här:

Området och dess rand med medurs genomloppsriktning

Randen till området består dels av en halvcirkelbåge, dels av en rät linje från (3,0) till (-3,0).

Området Ω\Omega utgör ett kompakt delområde av xy-planet och vektorfältet F är kontinuerligt deriverbar i hela planet. Vi får alltså använda Greens formel (Stokes sats).

K.Ivanovitj 399
Postad: 23 maj 2018 19:56

så vi kan alltså använda Greens formel utan att dra ifrån något?

blev det rätt när jag räknade ut F*dr=xPyQ=Qy-Px=-2yx-2xy

Moffen 1437
Postad: 23 maj 2018 20:07

Det ska vara Qx-Py

K.Ivanovitj 399
Postad: 23 maj 2018 20:12

okej då får jag xPyQ=Qx-Py=-y2-x2

K.Ivanovitj 399
Postad: 23 maj 2018 23:08

Om vi då har att rotF-y2-x2  och vi vill räkna fram yF*dr=yrotF*dS så vi har då den första delen.

Den andra delen blir väl då att få fram  rotF*n^ds=rotF*Ndxdy vilket innebär att vi måste räkna fram n^

men får att få fram N ska vi väl ta derivatan av ytan men jag förstår inte riktigt hur vi ska göra, i andra uppgifter har jag haft en yta z, men nu har vi ju ingen sådan.

Albiki 5096
Postad: 24 maj 2018 00:23

Hej!

Uppgiften handlar om att beräkna kurvintegralen

    -DP(x,y)dx+Q(x,y)dy\displaystyle -\oint_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy,

där P(x,y)=x2yP(x,y) = x^2y och Q(x,y)=-y2xQ(x,y)=-y^2x och D\partial D är den POSITIVT orienterade randen till området

    D={(x,y):x2+y232,y0}.D=\{(x,y):x^2+y^2\leq 3^2, y\geq 0\}.

Om förutsättningarna för Greens teorem är uppfyllda så kan kurvintegralen beräknas som en ytintegral,

    DQdx-Pdydxdy=D-(x2+y2)dxdy.\displaystyle \iint_{D}\frac{\partial Q}{dx}-\frac{\partial P}{dy} dxdy = \iint_{D}-(x^2+y^2)dxdy.

Guggle 1364
Postad: 24 maj 2018 09:52 Redigerad: 24 maj 2018 11:17
K.Ivanovitj skrev:

Om vi då har att rotF-y2-x2  och vi vill räkna fram yF*dr=yrotF*dS så vi har då den första delen.

Den andra delen blir väl då att få fram  rotF*n^ds=rotF*Ndxdy vilket innebär att vi måste räkna fram n^

men får att få fram N ska vi väl ta derivatan av ytan men jag förstår inte riktigt hur vi ska göra, i andra uppgifter har jag haft en yta z, men nu har vi ju ingen sådan.

 

Tänk på att rotationen av vektorfältet bara existerar i 3 dimensioner. Om du vill lösa uppgiften med den analoga Stokes sats gäller alltså

F=(x2y,-xy2,0),  ×F=(0,0,-x2-y2)=-r2z^\mathbf{F}=(x^2y,-xy^2,0),\quad\nabla\times\mathbf{F}=(0,0,-x^2-y^2)=-r^2\hat z

Ytan Ω\Omega ser vi nu som en tvåsidig glatt yta med randkurva γ\gamma vars omloppsriktning är relaterad till den positiva normalriktningen av ytan. Alltså måste ytnormalen peka i negativ z-led. Ytelementet blir därmed

dS=-rdrdφz^d\mathbf{S}=-rdrd\varphi\hat z

För vektorfältet F\mathbf{F}, som är kontinuerligt deriverbart i ett öppet område som innehåller Ω\Omega och γ\gamma, gäller då enligt Stokes' sats

γF·dr=Ω(×F)·dS=r=03φ=0π(-r2z^)·(-rdrdφz^)=r=03φ=0πr3drdφ\displaystyle \oint_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_\Omega(\nabla\times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\int_{r=0}^{3}\int_{\varphi=0}^{\pi} (-r^2\hat z)\cdot (-rdrd\varphi\hat z)=\int_{r=0}^{3}\int_{\varphi=0}^{\pi} r^3drd\varphi

Albiki 5096
Postad: 24 maj 2018 10:08
Albiki skrev:

Hej!

Uppgiften handlar om att beräkna kurvintegralen

    -DP(x,y)dx+Q(x,y)dy\displaystyle -\oint_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy,

där P(x,y)=x2yP(x,y) = x^2y och Q(x,y)=-y2xQ(x,y)=-y^2x och D\partial D är den POSITIVT orienterade randen till området

    D={(x,y):x2+y232,y0}.D=\{(x,y):x^2+y^2\leq 3^2, y\geq 0\}.

Om förutsättningarna för Greens teorem är uppfyllda så kan kurvintegralen beräknas som en ytintegral,

    DQdx-Pdydxdy=D-(x2+y2)dxdy.\displaystyle \iint_{D}\frac{\partial Q}{dx}-\frac{\partial P}{dy} dxdy = \iint_{D}-(x^2+y^2)dxdy.

 Inför planpolära koordinater (r,θ)(r,\theta) för att beräkna ytintegralen. 

    D-(x2+y2)dxdy=-D'r2·rdrdθ=-r=03θ=0πr3drdθ=-π·344,

där integrationsområdet är den axelparallella rektangeln 

    D'={(r,θ):0r3,0θπ}.\displaystyle D'=\{(r,\theta):0\leq r \leq 3, 0\leq\theta\leq \pi\}.

K.Ivanovitj 399
Postad: 24 maj 2018 19:01 Redigerad: 24 maj 2018 19:13

En sak jag funderar över kring -r2z^, kommer -r2 av att rotationen är x2+y2=r2 så vi får -x2+y2=-r2 men vad blir z^  

Kan vi då skissa vårat integrationsområde som:

och kan vi då skriva rotationen som ×F=ixPjyQkzR=ixx2yjy-xy2kz0=0,0,-x2-y2=-r2z^

Sedan är jag lite oklar över om vi efter variabelbyte ska använda theta eller phi?

Guggle 1364
Postad: 25 maj 2018 11:56 Redigerad: 25 maj 2018 13:32
K.Ivanovitj skrev:

En sak jag funderar över kring -r2z^, kommer -r2 av att rotationen är x2+y2=r2 så vi får -x2+y2=-r2 men vad blir z^

Rotationen av ett vektorfält F\mathbf{F} är en vektor. För att få använda rotation måste du utöka fältet till 3 dimensioner, F=(x2y,-xy2,0)\mathbf{F}=(x^2y, -xy^2,0). Rotationen av just detta vektorfält är ×F=(0,0,-x2-y2)=-(x2+y2)z^\nabla \times \mathbf{F}=(0,0,-x^2-y^2)=-(x^2+y^2)\hat{z}

Greens formel är en tvådimensionell fattigmansvariant av Stokes sats. Om du är osäker på Stokes sats och den inte ingår i din kurs bör du använda Greens formel. Om Stokes sats ingår i din kurs måste du lära dig den förr eller senare.

 

Här är en jämförelse

Om du har ett fält i två dimensioner F=(P,Q)\mathbf{F}=(P, Q) så är:

CF·dr=C(P,Q)·(dx,dy)=CPdx+Qdy\displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_C (P,Q)\cdot(dx, dy)=\int_C P\,dx+Q\,dy

Ibland talar man om detta som integralen av differentialformen Pdx+QdyP\,dx+Q\,dy.

Greens formel säger att om P och Q är kontinuerligt deriverbara i en öppen mängd över en plan yta och C är en rand som omsluter ett delområde D på så sätt att du har området till vänster då du genomlöper C så gäller

CPdx+Qdy=DQx-Pydxdy\displaystyle \int_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D \frac{\partial Q }{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy

I just vårt fall har vi området till höger då vi genomlöper randen. Alltså är integralen du ska beräkna

I=-DQx-Pydxdy=-D(-x2-y2)dxdy=D'r2rdrdφ=81π4\displaystyle I=-\iint_D \frac{\partial Q }{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy=-\int_D (-x^2-y^2)\,dxdy=\iint_{D'}r^2\,rdrd\varphi=\frac{81\pi}{4}

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I tre dimensioner utökar vi vektorfältet F=(P,Q,0)\mathbf{F}=(P,Q,0). Nu blir rotationen

×F=x,y,z×(P,Q,0)=0,0,Qx-Py\nabla \times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z} \right) \times(P,Q,0)=\left(0,0,\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )

Notera att du har P och Q från differentialformen på exakt det sätt de förekommer i Greens formel i det tvådimensionella fallet som z-komponent.

Stokes sats säger att om S är en tvåsidig styckvis glatt yta med randkurva C vars  genomloppsriktning är sådan att C korrelerar med den positiva normalriktningen av ytan S (dvs om vi går runt C i genomloppsriktningen så ska området ligga till vänster) så gäller

CF·dr=S(×F)·dS\displaystyle \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}

för alla vektorfält F\mathbf{F} som är kontinuerligt deriverbara i ett öppet område som håller S och C.

I det tvådimensionella fallet använder vi ett variabelbyte till planpolära koordinater och funktionaldeterminanten r för att beräkna ytintegralen.

I det tredimensionella fallet låter vi r\mathbf{r} vara en kontinuerlig funktion från ett slutet begränsat område D i R2\mathbb{R^2} till en begränsad sammanhängande punktmängd S i R3\mathbb{R^3}. Punktmängden bildar då en yta i R3\mathbb{R^3}. I vårt fall kan det vara bekvämt att använda (r,φ)(r,\varphi) som parametrar i parametriseringen.

 S : r=r(r,φ)=(rcos(φ),rsin(φ),0),  (r,φ)DS\>:\>\mathbf{r}=\mathbf{r}(r,\varphi)=(r\cos(\varphi), r\sin(\varphi),0),\quad (r,\varphi)\in D

Området DD ges naturligtvis av r[0,3],φ[0,π]r\in[0,3], \varphi \in[0,\pi]

En enhetsnormal till vår yta är uppenbarligen (0,0,-1)(0,0,-1) (vi väljer en normal som orienterar ytan S så att genomloppsriktningen av randen gör att vi har området till vänster om oss).

Det vektoriella ytelementet med rätt normering är därmed

dS=-rr×rφdrdφ=-rdrdφz^\displaystyle d\mathbf{S}=-\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} \right )dr d \varphi=-r\,drd\varphi \hat{z}

S(×F)·dS=D×F[r(r,φ)]·(-rdrdφz^)=Dr3drdφ\displaystyle \int_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\iint_D \left( \nabla \times \mathbf{F}[\mathbf{r}(r,\varphi)]\right) \cdot(-r\,drd\varphi\hat z)=\iint_Dr^3\,drd\varphi

Återigen får vi exakt samma svar.

 

Sedan är jag lite oklar över om vi efter variabelbyte ska använda theta eller phi?

 Du får naturligtvis kalla variablerna i dina variabelbyten vad du vill, men för att det ska bli lättare att förstå är det mer rimligt att kalla radien för rr eller ρ\rho och vinkeln för φ\varphi eller θ\theta snarare än tvärtom.

K.Ivanovitj 399
Postad: 25 maj 2018 15:44 Redigerad: 25 maj 2018 15:59

För just denna uppgift ska jag använda Greens formel så då använder jag cPdx+Qdy=DQx-Pydxdy

när det kommer till våra gränsvärden så får vi ju att våran halvcirkelbåge är i den första och andra kvadranten och går därmed mellan 0 ochπ så vi får φ0,π men varför får vi att r0,3 och inte r-3,3

och har vi att integrationsområdet D är som bilden

Sedan använder vi väl de två minustecknen till att skriva om -D-x2-y2dxdy till Dx2+y2dxdy så att vi efter variabelbytet kan sätta r2=x2+y2 och få integralen Dr2rdrdφ

Guggle 1364
Postad: 25 maj 2018 17:42 Redigerad: 25 maj 2018 17:48
K.Ivanovitj skrev: men varför får vi att r0,3 och inte r-3,3

x-koordinaten går från -3 till 3. Men i polära koordinater är r avståndet från origo, det kan aldrig vara mindre än 0.

Punkten (-3,0)(-3,0) motsvarar r=3, φ=πr=3,\>\varphi=\pi

Svara Avbryt
Close