18 svar
113 visningar
mrlill_ludde 942
Postad: 29 maj 2019

Greens? med en paramatisering

Men jag fastnar vid F(r(t))F(r(t)) blir det om $$x^3$ så vi får $$t^3 \cos^3(t)$$ ?</p> <p>och för $$1-y^3 = -1 + t^3 \sin^3(t)$$ ?

Tomte123 119
Postad: 29 maj 2019

En massa dollartecken i det du skrev under bilden så svårt att se vad som står där...

Har du provat att undersöka dP/dx - dQ/dy ? Om det är lika med noll vet vi att kurvintegralen är oberoende av integrationsväg, då är det oftast lättare att parametriera. Är det inte lika med noll brukar det fungera fint med Green

mrlill_ludde 942
Postad: 29 maj 2019
Tomte123 skrev:

En massa dollartecken i det du skrev under bilden så svårt att se vad som står där...

Har du provat att undersöka dP/dx - dQ/dy ? Om det är lika med noll vet vi att kurvintegralen är oberoende av integrationsväg, då är det oftast lättare att parametriera. Är det inte lika med noll brukar det fungera fint med Green

Ahh nej. Den är inte lika med noll. 

AlvinB 3163
Postad: 29 maj 2019

När du använder Greens formel går integralen från att vara en kurvintegral till att vara en dubbelintegral. Du skall alltså beräkna dubbelintegralen

D3x2+y2 dxdy\displaystyle\iint_D 3\left(x^2+y^2\right)\ dxdy

där DD är området som innesluts av kurvan som du använder Greens formel på. För att beräkna denna dubbelintegral behövs inte någon parametrisering (parametriseringar i en variabel används för att beräkna kurvintegraler).

Observera dock att du enbart får använda Greens formel på slutna kurvor. Är din kurva sluten? Om inte, vad skall du lägga till för att den skall bli det?

mrlill_ludde 942
Postad: 29 maj 2019
AlvinB skrev:

När du använder Greens formel går integralen från att vara en kurvintegral till att vara en dubbelintegral. Du skall alltså beräkna dubbelintegralen

D3x2+y2 dxdy\displaystyle\iint_D 3\left(x^2+y^2\right)\ dxdy

där DD är området som innesluts av kurvan som du använder Greens formel på. För att beräkna denna dubbelintegral behövs inte någon parametrisering (parametriseringar i en variabel används för att beräkna kurvintegraler).

Observera dock att du enbart får använda Greens formel på slutna kurvor. Är din kurva sluten? Om inte, vad skall du lägga till för att den skall bli det?

Det är väl en cirkel? Så därmed sluten?

AlvinB 3163
Postad: 29 maj 2019

Är det en hel cirkel?

Albiki Online 4096
Postad: 30 maj 2019

Hej!

  • Du verkar ha helt bortsett från kravet att y1.y\geq 1.
  • Ekvationen x2+(y-1)2=1x^2+(y-1)^2=1 beskriver en cirkel med centrum i punkten (0,1)(0,1) och radie 11, vilken inte stämmer överens med figuren i din bifogade bild. 

En möjlig parameterisering av kurvan γ\gamma är r(t)=(cost ,1+sint)r(t) = (\cos t\ , 1+\sin t) där 0tπ0\leq t \leq \pi.

mrlill_ludde 942
Postad: 31 maj 2019 Redigerad: 31 maj 2019
Albiki skrev:

Hej!

  • Du verkar ha helt bortsett från kravet att y1.y\geq 1.
  • Ekvationen x2+(y-1)2=1x^2+(y-1)^2=1 beskriver en cirkel med centrum i punkten (0,1)(0,1) och radie 11, vilken inte stämmer överens med figuren i din bifogade bild. 

En möjlig parameterisering av kurvan γ\gamma är r(t)=(cost ,1+sint)r(t) = (\cos t\ , 1+\sin t) där 0tπ0\leq t \leq \pi.

Men ändå om det y3y^3 blir det det inte sin3t\sin^3 t? Asså jag tänker i F(r(t))F(r(t)) ?

Albiki Online 4096
Postad: 31 maj 2019 Redigerad: 31 maj 2019

Om y=1+sin t så blir y^3 inte lika med sin^3 t.

mrlill_ludde 942
Postad: 31 maj 2019
Albiki skrev:

Om y=1+sin t så blir y^3 inte lika med sin^3 t.

Nej men menar det är ju F=(1-y3)dx+x3dyF = (1-y^3)dx + x^3 dy

så 

AlvinB 3163
Postad: 31 maj 2019

Varför har du potenser av tt framför sin(t)\sin(t) och cos(t)\cos(t)?

Parametriseringen är ju r(t)=(cos(t),1+sin(t))\mathbf{r}(t)=(\cos(t),1+\sin(t)).

xx-komponenten i F(r(t))\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) blir då lika med 1-(1+sin(t))31-(1+\sin(t))^3, vilket inte är särskilt lätt att förenkla.

mrlill_ludde 942
Postad: 31 maj 2019
AlvinB skrev:

Varför har du potenser av tt framför sin(t)\sin(t) och cos(t)\cos(t)?

Parametriseringen är ju r(t)=(cos(t),1+sin(t))\mathbf{r}(t)=(\cos(t),1+\sin(t)).

xx-komponenten i F(r(t))\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) blir då lika med 1-(1+sin(t))31-(1+\sin(t))^3, vilket inte är särskilt lätt att förenkla.

Vänta här nu.. när man paramatiserar r(t) är det F=(1-y3)+x3F = (1-y^3) + x^3 du tittar på, eller halvcirkeln x2+(y-1)2=1x^2+(y-1)^2=1 ??

Albiki Online 4096
Postad: 31 maj 2019
mrlill_ludde skrev:
AlvinB skrev:

Varför har du potenser av tt framför sin(t)\sin(t) och cos(t)\cos(t)?

Parametriseringen är ju r(t)=(cos(t),1+sin(t))\mathbf{r}(t)=(\cos(t),1+\sin(t)).

xx-komponenten i F(r(t))\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) blir då lika med 1-(1+sin(t))31-(1+\sin(t))^3, vilket inte är särskilt lätt att förenkla.

Vänta här nu.. när man paramatiserar r(t) är det F=(1-y3)+x3F = (1-y^3) + x^3 du tittar på, eller halvcirkeln x2+(y-1)2=1x^2+(y-1)^2=1 ??

Det du skriver om F är fel och gör beräkningarna du utfört meningslösa. Objektet F är en vektor (inte ett tal som du skrivit) vars komponenter är 1-y^3 och x^3. 

    F(x,y)=(1-y3,x3).F(x,y)=(1-y^3, x^3).

Albiki Online 4096
Postad: 31 maj 2019

Du har även skrivit att F=(1-y3)dx+x3dyF=(1-y^3)dx+x^3dy vilket även det är felaktigt. 

Albiki Online 4096
Postad: 31 maj 2019

Om du vill använda parameteriseringen så ska du beräkna skalärprodukten 

    (1-(1+sint)3,cos3t)·(-sint,cost)(1-(1+\sin t)^3, \cos^3 t)\cdot (-\sin t, \cos t)

och integrera denna skalärfunktion över intervallet 0<t<π0<t<\pi.

Albiki Online 4096
Postad: 31 maj 2019

Beräknar du skalärprodukten får du

    cos4t-sint+(1+sint)3sint\cos^4 t -\sin t+(1+\sin t)^3\sin t

som kan förenklas till

    cos4t+sin4t+3sin2t+3sin3t\cos^4 t +\sin^4 t + 3\sin^2 t +3\sin^3 t.

Albiki Online 4096
Postad: 31 maj 2019

Beräknas integralen får man kurvintegralen till att bli 25π/411.25\pi/4 \approx 11.

mrlill_ludde 942
Postad: 1 jun 2019
Albiki skrev:

Om du vill använda parameteriseringen så ska du beräkna skalärprodukten 

    (1-(1+sint)3,cos3t)·(-sint,cost)(1-(1+\sin t)^3, \cos^3 t)\cdot (-\sin t, \cos t)

och integrera denna skalärfunktion över intervallet 0<t<π0<t<\pi.

men paramatiseringen 

 

r(t)r(t) kommer den från cirkeln? eller från vektorn???

AlvinB 3163
Postad: 1 jun 2019

Parametriseringen utgår från kurvan, d.v.s. cirkeln.

Svara Avbryt
Close