Extrem- och terrasspunkter
Frågan: Ange med hjälp av derivatan eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktionen f(x) = 3x^4 - 4x^3
. Rita därefter grafen.
Har jag svarat frågan rätt?
För att hitta de kritiska punkterna där funktionen kan ha ett lokalt maximum, minimum eller terrasspunkt, börjar jag med att ta derivatan av f(x) med avseende på x
f′(x) = d/dx ( 3x^4 - 4x^3)
Derivatan av f(x) = 3x^4 - 4x^3 med avseende på x är:
f′(x) = 12x^3 - 12x^2
Denna kan också skrivas som:
f′(x) = 12x^2 (x - 1)
För att hitta de kritiska punkterna sätter jag f′(x) lika med noll: 12x^2(x - 1) = 0
Detta ger mig två lösningar
x = 0
x = 1
Dessa är de kritiska punkterna där funktionen kan ha ett lokalt maximum, minimum eller terrasspunkt.
För att avgöra om de kritiska punkterna x = 0 och x = 1 är lokala maxima, minima eller terrasspunkter, tar jag den andra derivatan av f(x) och utväderar den vid dessa punkter
Den andra derivatan av f(x) = 3x^4 - 4x^3 med avseende på x är:
f′′(x) = 36x^2 - 24x
Denna kan också skrivas som:
f′′(x) = 12x(3x - 2)
För att avgöra om de kritiska punkterna x = 0 och x = 1 är lokala maxima, minima eller terrasspunkter, utvärderar jag f′′(x) vid dessa punkter:
För x = 0:
f′′(0) = 12(0)(3(0) - 2) = 0
eftersom f′′ (0) = 0, kan jag inte avgöra med det andra derivattestet om det är en terrasspunkt, maximum eller minimum. Vi behöver undersöka funktionens beteende nära denna punkt.
För x = 1:
f′′(1) = 12(1)(3(1) - 2) = 12
eftersom f′′ (1) > 0, betyder det att x = 1 är en lokal minimipunkt.
Som man ser på grafen:
Vid x = 0 har man en terasspunkt, vilket bekräftar min tidigare analys
Vid x = 1 har man en lokal minimipunkt, vilket också bekräftar min tidigare analys.
Detta avslutar min analys av funktionen f(x) = 3x^4 - 4x^3 och dessa kritiska punkter.
Väldigt krångligt att använda andraderivatan här.
f(x) = 3x^4 – 4x^3
f’(x) = 12x^3 – 12x^2
= 12x^2 (x–1)
enda möjliga nollställen är x = 0 och x = 1. Teckenschema:
x 0 1
f’ 0 0
För stort x är alla faktorer i f’ positiva, dvs f’ positivt. När x blir mindre och passerar 1 så byter faktorn (x–1) tecken så då blir f’ negativt. När x passerar 0 byter inte faktorn x^2 tecken så f’ är fortfarande negativt. Det ger
x 0 1
f’ – 0 – 0 +
f avtar terrass avtar min växer
Ändring av rubrik och kategorisering:
Rubriken har ändrats från "Grundläggande nivå fråga." till "Extrem- och terrasspunkter".
Att skriva en bra eller lämplig rubrik som beskriver/återspeglar frågan/tråden underlättar betydligt för andra som söker/googlar efter samma fråga.
Tråden har också flyttats från Alla trådar till Derivata. /admin
